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教材 · 数学 Course 1 · 数与式 · 数与式

实数与根式

実数と根号を含む式

1 数と式 ／ 実数1 数と式 ／ 根号を含む式の計算
一句话结论

A2=∣A∣\sqrt{A^2}=\lvert A\rvert，不是 AA；分母有根号就乘共轭式，用平方差消去。对称式先化成 x+yx+y、xyxy 再代入；整数部分用 n≤x<n+1n\le x<n+1 夹出来，小数部分写精确值 x−nx-n。

2\sqrt2 写不成两个整数之比，可它就是边长 1 的正方形的对角线，实实在在落在数轴上。EJU 第一大题常从这样的数开始：分母带根号的分数，化简后求对称式的值，再问整数部分和小数部分。要算得快又不出符号错，守住两条：根号里出了平方，取出来要加绝对值；分母里有根号，用平方差消掉。

为什么是这样

能写成 mn\dfrac mn（m, nm,\,n 为整数，n≠0n\ne0）的数叫有理数（有理数）。有理数化成小数，要么有限，要么从某一位起循环；反过来循环小数（循環小数）都能化成分数：x=0.1˙8˙x=0.\dot1\dot8 时 100x−x=18100x-x=18，x=1899=211x=\dfrac{18}{99}=\dfrac2{11}。不循环的无限小数叫无理数（無理数），如 2\sqrt2、π\pi。两者合起来是实数（実数），与数轴（数直線）上的点一一对应，四则运算的结果仍是实数。

数轴上点 aa 到原点的距离叫绝对值（絶対値），记作 ∣a∣\lvert a\rvert：a≥0a\ge0 时 ∣a∣=a\lvert a\rvert=a，a<0a<0 时 ∣a∣=−a\lvert a\rvert=-a。距离不会是负数，所以 a<0a<0 时要添一个负号把它变正。两点 aa、bb 的距离是 ∣b−a∣\lvert b-a\rvert。

平方等于 aa 的数叫 aa 的平方根（平方根）。正数有两个平方根 ±a\pm\sqrt a，记号 a\sqrt a 专指正的那个。所以 (−3)2=9=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3，不是 −3-3：根号取出来的永远不是负数，这就是 A2=∣A∣\sqrt{A^2}=\lvert A\rvert。图中 y=x2y=\sqrt{x^2} 在 x<0x<0 一侧折了上去，与 y=∣x∣y=\lvert x\rvert 重合。

实数的分类：有理数（整数、有限小数、循环小数）与无理数（不循环的无限小数），全部排在数轴上实数数轴上的全部点有理数能写成 m/n（n≠0）无理数不能写成整数之比整数0, ±1, ±2, …有限小数0.5循环小数0.181818…不循环的无限小数√2, √3, π, …化成小数：要么有限，要么循环化成小数：无限且不循环原点 0−2−0.51/3 = 0.333…√2 = 1.414…2π圆点是有理数，方块是无理数。每个实数都对应数轴上的一个点，反过来也一样。

定量表达

根式计算像合并同类项：先把根号里的平方因数移到外面（48=42⋅3=43\sqrt{48}=\sqrt{4^2\cdot3}=4\sqrt3），根号里剩下的数相同才能合并；乘法照常用展开公式，出现 (a)2(\sqrt a)^2 就换成 aa。分母有根号时，分子分母同乘它的共轭式，用 (a+b)(a−b)=a−b(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b 消去根号，这叫分母有理化（分母の有理化）。

二重根号 p±2q\sqrt{p\pm2\sqrt q} 找和为 pp、积为 qq 的两个正数 a>ba>b，就能拆成 a±b\sqrt a\pm\sqrt b，因为 (a±b)2=a+b±2ab(\sqrt a\pm\sqrt b)^2=a+b\pm2\sqrt{ab}。根号前不是 2 时先凑：8−60=8−215=5−3\sqrt{8-\sqrt{60}}=\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt5-\sqrt3。

实数 xx 的整数部分是满足 n≤x<n+1n\le x<n+1 的整数 nn，小数部分是 x−nx-n，在 00 与 11 之间。小数部分要写成这个精确的式子，不是写几位近似小数。

y=√(x²) 的图像与 y=|x| 重合：x<0 时它不是 x，而是 −xxyO−3−2−1123y = √(x²) = |x|y = x（虚线）x=−3：√9 = 3，不是 −3x ≥ 0 的一侧两条线重合，所以 √(A²) = A 只在 A ≥ 0 时成立。x < 0 的一侧 √(x²) 折到上方：根号取出来的永远不是负数。
A2=∣A∣,a b=ab,ab=ab,k2a=ka\sqrt{A^2}=\lvert A\rvert,\qquad \sqrt a\,\sqrt b=\sqrt{ab},\qquad \dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab},\qquad \sqrt{k^2a}=k\sqrt a
AA
任意实数（可以是负数，也可以是含字母的式子）
∣A∣\lvert A\rvert
AA 的绝对值：A≥0A\ge0 时是 AA，A<0A<0 时是 −A-A
a, ba,\ b
根号里的正数
kk
从根号里移出来的正因数
适用条件
  • A2=∣A∣\sqrt{A^2}=\lvert A\rvert 对一切实数 AA 成立；AA 的正负不明时不能直接写成 AA
  • 后三条要求 a>0a>0、b>0b>0、k>0k>0；负数在实数范围里没有平方根
  • 记号 a\sqrt a 只表示 aa 的两个平方根里非负的那一个，所以 a≥0\sqrt a\ge0

怎么用

EJU 的根式题几乎是一条流水线：① 分母有理化，化简 xx、yy；② 对称式改写成 x+yx+y 与 xyxy；③ 整数部分用 16<21<25\sqrt{16}<\sqrt{21}<\sqrt{25} 这类夹逼先定根号的范围，再推到整个式子；④ 高次式求值先降次：由 bb 的值造出整系数二次方程（如 b=21−32b=\dfrac{\sqrt{21}-3}{2} 给出 b2+3b−3=0b^2+3b-3=0），用它把 b2b^2 换成一次式。

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