教材 · 数学 Course 2 · 概率与统计
概率分布
確率分布
随机变量与概率分布、期望方差标准差、协方差与相关系数、随机变量的变换与和。
学习目标
- 能从掷骰子、取卡片等试行列出随机变量的概率分布和两个随机变量的同时分布，并逐格判断两者是否独立
- 能由分布表算出期望值、方差、标准差，由同时分布算出协方差与相关系数，并说出它们的正负和大小表示什么
- 能不重新列表，直接求 与 、 的期望值和方差，说清哪一步需要独立，并由此得出反复试行成功次数的期望值 与方差
先读「随机变量与概率分布」，学会把试行结果变成数、列出分布表，并认识同时分布与独立；这一章后面每一节都从这张表出发。接着读「期望值、方差、标准差」，在 Course 1「期望值」的基础上加上量散开程度的方差和标准差。然后读「协方差与相关系数」，把方差推广到两个随机变量，看它们同增同减还是此消彼长。最后读「随机变量的变换与和」，用前三节的结果直接处理 和几个随机变量的和，反复试行的 也在这里证明。如果 Course 1 的「期望值」「独立试行与反复试行」还不熟，先回去读这两节。
- 1随机变量与概率分布確率変数と確率分布随机变量是给每个试行结果配上一个数的规则；概率分布列出它的每个值和对应的概率，概率都不为负、总和为 。等可能的是原始结果，不是随机变量的值。两个随机变量独立，指同时分布的每一格都等于各自概率之积。
- 2期望值、方差、标准差期待値・分散・標準偏差方差是「偏差的平方」按概率加权的平均，量的是分布散开的程度；标准差是它的平方根，单位与原来的量相同。计算多用 。期望值相同的分布，方差可以差很多。
- 3协方差与相关系数共分散と相関係数协方差是两个偏差之积的期望值，正表示倾向于同增同减，负表示此消彼长；相关系数把它除以两个标准差，落在 与 之间，不受单位影响。独立则协方差为 ，但协方差为 不等于独立。
- 4随机变量的变换与和確率変数の変換と和期望值对变换与和都「照着算」：，，不需要任何条件。方差遇到乘数要平方、遇到加常数不变；和的方差只有在独立时才能直接相加。相减时方差也是相加。