随机变量的变换与和

確率変数の変換と和

13 確率分布／確率変数の変換13 確率分布／確率変数の和と期待値

一句话结论

期望值对变换与和都「照着算」： $E(aX+b)=aE(X)+b$ ， $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ ，不需要任何条件。方差遇到乘数要平方、遇到加常数不变；和的方差只有在独立时才能直接相加。相减时方差也是相加。

考试原始分 $X$ 的平均是 52 分、标准差是 8 分，老师把每个人的分数乘 1.5 再加 10；两颗骰子各掷一次，把点数加起来。新的量的期望值和方差，能不能不重新列分布，直接从原来的算出来？能，而且规则不多：期望值几乎总是「照着算」，方差要小心平方和独立。EJU 最容易在这里设陷阱。

为什么是这样

$aX+b$ 就是把分布表里每个值 $x$ 换成 $ax+b$ ，概率不动。加 $b$ 把整个分布平移 $b$ ，平衡点跟着移 $b$ ，但每个值离平衡点的距离不变，所以方差不变。乘 $a$ 把每个值到平衡点的距离都放大 $|a|$ 倍，标准差变成 $|a|$ 倍，而方差是距离的平方，变成 $a^2$ 倍。图把一个分布先乘 2 再加 1，宽度只受乘法影响。

和 $X+Y$ 的期望值等于期望值之和，不需要任何条件：重复很多次时， $X+Y$ 的总和就是 $X$ 的总和加 $Y$ 的总和，平均自然也相加。方差不同： $X+Y$ 的偏差是两个偏差之和，平方后多出交叉项 $2(X-m_X)(Y-m_Y)$ ，它的期望值正是 $2\mathrm{Cov}(X,Y)$ 。只有协方差为 $0$ （例如独立）时，方差才能直接相加。

同样， $X-Y$ 在独立时的方差是 $V(X)+V(Y)$ ，不是相减： $Y$ 的随机性不管被加上还是被减去，都让结果更不确定，系数 $-1$ 平方后是 $1$ 。

定量表达

一个变量的变换见第一个公式块。取 $a=\dfrac{1}{\sigma}$ 、 $b=-\dfrac{m}{\sigma}$ ，即 $Z=\dfrac{X-m}{\sigma}$ （ $m$ 、 $\sigma$ 是 $X$ 的期望值与标准差），得到期望值 $0$ 、标准差 $1$ 的量，这叫标准化（標準化）。

和的规则见第二个公式块。 $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ 也总成立；独立时还有 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 。三个以上的随机变量一样：期望值总可以相加，互相独立时方差也可以相加。

由此马上得到反复试行的结论。成功概率为 $p$ 的试行做 $n$ 次，第 $k$ 次成功记 $X_k=1$ 、失败记 $X_k=0$ ，成功次数 $X=X_1+X_2+\cdots+X_n$ 。每个 $X_k$ 的期望值是 $p$ ，方差是 $p-p^2=p(1-p)$ ，各次独立，所以 $E(X)=np$ ， $V(X)=np(1-p)$ 。

E(aX+b)=aE(X)+b,\qquad V(aX+b)=a^2V(X),\qquad \sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)

$X$: 原来的随机变量
$a,\ b$: 常数； $aX+b$ 表示把 $X$ 的每个值乘 $a$ 再加 $b$
$E$: 期望值
$V$: 方差
$\sigma$: 标准差

适用条件

对任何随机变量都成立，不需要别的条件
$b$ 只平移分布，不影响方差和标准差； $a$ 为负时标准差乘的是 $|a|$

怎么用

先判断题目要的是「一个变量的变换」还是「几个变量的和」。变换：先求原变量的 $E$ 、 $V$ ，再套 $aX+b$ 的公式，不必重新列表。和：期望值直接相加；方差先问「独立吗」，独立才相加，不独立就加上 $2\mathrm{Cov}(X,Y)$ 。不放回地取出、同一次试行里的两个量，都要先怀疑不独立。

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