期望值、方差、标准差

期待値・分散・標準偏差

13 確率分布／期待値，分散，標準偏差

一句话结论

方差是「偏差的平方」按概率加权的平均，量的是分布散开的程度；标准差是它的平方根，单位与原来的量相同。计算多用 $V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$ 。期望值相同的分布，方差可以差很多。

两种投资：A 每次都赚 1 万円上下，B 一半机会赚 5 万、一半机会亏 3 万，长期平均都是赚 1 万。只看期望值，两者一样，可你显然不会觉得它们一样。缺的是一个量「离平均有多远」的数。方差和标准差就是干这个的，EJU 里它们几乎总跟在「求期望值」后面一起问。

为什么是这样

期望值 $m=E(X)$ 是分布的平衡点。要量散开的程度，自然先看每个值离平衡点多远，即偏差 $x_i-m$ 。可偏差按概率加权平均后恒等于 $0$ ：右边的正偏差和左边的负偏差正好抵消，这正是「平衡点」的意思。

抵消的办法是先平方再平均： $(x_i-m)^2$ 总不为负，离得越远贡献越大，再按概率加权，就得到方差（分散） $V(X)$ 。图里两个分布的期望值都是 $2$ ，右边每个值离 $2$ 的距离是左边的 2 倍，偏差平方是 4 倍，方差也是 4 倍。概率大的值出现得多，对散开程度的贡献也大，所以要按概率加权，不能把各个偏差平方直接平均。

平方有个副作用： $X$ 以円为单位时，方差的单位是「円的平方」，没法和原来的值比。开平方得到标准差（標準偏差） $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ ，单位回到円，可以理解成「典型地离平均多远」。方差只有在 $X$ 只取一个值时为 $0$ ，其余时候都是正数。

定量表达

定义见公式块。把 $(x_i-m)^2=x_i^2-2mx_i+m^2$ 逐项按概率加权： $\sum x_i^2p_i-2m\sum x_ip_i+m^2\sum p_i=E(X^2)-2m^2+m^2$ ，就得到常用的 $V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$ 。期望值是分数时，用它比逐个算偏差省事得多。

由 $V(X)\ge0$ 得 $E(X^2)\ge\{E(X)\}^2$ 。「 $X^2$ 的期望值」是每个值先平方再加权，「期望值的平方」是先加权再平方，两者之差恰好是方差，只有 $X$ 只取一个值时才相等。

计算时在分布表下面加两行 $x^2$ 和 $x^2p$ ，一行一行加起来就是 $E(X^2)$ ，不容易乱。

V(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2p_i=E(X^2)-\{E(X)\}^2,\qquad \sigma(X)=\sqrt{V(X)}

$X$: 随机变量，取 $x_1,\dots,x_n$ ，概率依次为 $p_1,\dots,p_n$
$x_i,\ p_i$: $X$ 的第 $i$ 个值及其概率
$n$: $X$ 可能取的值的个数
$m$: 期望值 $E(X)=\sum x_ip_i$
$E(X^2)$: $X^2$ 的期望值 $\sum x_i^2p_i$ ：先把每个值平方，再按概率加权
$V(X)$: 方差（分散）
$\sigma(X)$: 标准差（標準偏差），单位与 $X$ 相同

适用条件

$p_1+\cdots+p_n=1$ 。每个偏差平方乘的是它自己的概率，不是 $\dfrac{1}{n}$
$V(X)\ge0$ ，只有 $X$ 只取一个值时 $V(X)=0$ ；因此 $E(X^2)\ge\{E(X)\}^2$

怎么用

按「分布表 → $E(X)$ → $E(X^2)$ → $V(X)$ → $\sigma(X)$ 」的顺序做。分布里有未知数时，用「概率之和为 $1$ 」和题目给的期望值列两个方程，先把未知数定下来，再算方差。问「哪个分布更分散」时比较方差或标准差，而不是比较期望值。

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