随机变量与概率分布

確率変数と確率分布

13 確率分布／確率変数と確率分布

一句话结论

随机变量是给每个试行结果配上一个数的规则；概率分布列出它的每个值和对应的概率，概率都不为负、总和为 $1$ 。等可能的是原始结果，不是随机变量的值。两个随机变量独立，指同时分布的每一格都等于各自概率之积。

掷两颗骰子，看两个点数相差多少。结果一共 36 种，可你关心的只是一个数：差是 0、1、2……还是 5。把每次试行的结果变成一个数，再问这个数取各个值的概率，就是这一章的出发点。这个数叫随机变量，它的「值—概率」一览叫概率分布。Course 1 求期望值时已经用过这张表，这一节把它说清楚，再加上把两个随机变量放在一起看的同时分布与独立。

为什么是这样

随机变量（確率変数）其实是一条规则：给试行的每个结果配上一个数。两颗骰子的 36 种结果，经过「取差的绝对值」这条规则，被归成 6 堆：差为 0 的 6 种、差为 1 的 10 种……每堆的个数除以 36，就是 $X$ 取这个值的概率。图左把 36 种结果按差标出，右边把每堆的大小画成柱子，这组柱子就是概率分布。

从图上能看出两件事。第一， $X$ 的 6 个值并不等可能：差为 1 的有 10 种，差为 5 的只有 2 种。等可能的是 36 种原始结果，不是 $X$ 的值，所以概率一定要回到原始结果去数。第二，每个结果恰好落进一堆，所以各值的概率加起来一定是 $1$ ；漏了某个值（最常漏的是 $0$ ），和就不到 $1$ 。

有时要同时看两个随机变量 $X$ 、 $Y$ 。把「 $X=a$ 且 $Y=b$ 」的概率排成二维表，叫同时分布（同時分布）；每一行加起来是 $X$ 自己的分布，每一列加起来是 $Y$ 的分布。如果每一格都等于对应的行和乘列和，说明知道了 $X$ 的值， $Y$ 取各值的概率一点也不变，这时称 $X$ 与 $Y$ 互相独立。

定量表达

设 $X$ 取 $x_1,x_2,\dots,x_n$ ，概率依次为 $p_1,p_2,\dots,p_n$ ，则每个 $p_i\ge0$ ，且 $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$ 。 $X$ 取 $a$ 的概率写作 $P(X=a)$ ，取 $a$ 以上 $b$ 以下的概率写作 $P(a\le X\le b)$ ，等于这一段里各值的概率之和。本章只处理取有限个值的随机变量。

分布里含未知常数时，用「概率之和为 $1$ 」把它定下来。例如 $P(X=k)=ck$ （ $k=1,2,3,4$ ），则 $c(1+2+3+4)=1$ ， $c=\dfrac{1}{10}$ ，于是 $P(X\ge3)=\dfrac{3+4}{10}=\dfrac{7}{10}$ 。

两个随机变量独立的定义见公式块。两个不同的试行（如两颗骰子各自的点数）定出的量一定独立；同一次试行定出的两个量也可能独立，例如掷一颗骰子， $X$ 表示点数是否为偶数（是记 1，否记 0）， $Y$ 表示点数是否不超过 2，四格都满足乘法关系。所以独立要逐格验证，不能凭感觉。

P(X=a,\ Y=b)=P(X=a)\,P(Y=b)\qquad(\text{对所有的 }a,\ b)

$X,\ Y$: 同一个试行（或几个试行）里定出的两个随机变量
$a$: $X$ 可能取的任意一个值
$b$: $Y$ 可能取的任意一个值
$P(X=a,\ Y=b)$: 「 $X=a$ 且 $Y=b$ 」的概率，即同时分布表里那一格
$P(X=a),\ P(Y=b)$: $X$ 、 $Y$ 各自的分布，即表的行和与列和

适用条件

必须对表里每一格都成立才叫独立，有一格不成立就不独立
两个不同的试行（如两颗骰子各自的点数）定出的量一定独立；同一次试行定出的两个量要逐格验证

怎么用

求分布分三步：① 列出 $X$ 能取的全部值，从最小的想起，最常漏的是 $0$ ；② 回到等可能的原始结果，数出每个值对应几种，分母统一；③ 列成表，检查概率之和是否为 $1$ 。两颗骰子的题画 $6\times6$ 的方格，取卡片的题列出全部组合，都不容易漏。

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