期望值

期待値

5 場合の数と確率／期待値

一句话结论

期望值是按概率加权的平均：每个值乘上它的概率，再全部加起来。它是概率分布的平衡点，不是各个值的简单平均，也不一定是能取到的值。列表时先检查概率之和是否为 $1$ 。

商店街的抽奖：交 300 円抽一次，奖金从 0 円到 2000 円不等，值不值得抽？一次抽奖的结果全凭运气，但如果抽一千次，平均每次能拿回多少钱，是可以事先算出来的。这个「长期的平均」就是期望值（期待値）。EJU 里它常接在概率计算的后面：先求每个值的概率，再求期望值，或者用它判断一个游戏是否划算。

为什么是这样

设奖金 $X$ 可能是 $x_1,\dots,x_n$ ，概率分别是 $p_1,\dots,p_n$ 。把这个试行重复 $N$ 次，大约有 $Np_1$ 次拿到 $x_1$ 、 $Np_2$ 次拿到 $x_2$ ……总额约为 $N(x_1p_1+\cdots+x_np_n)$ ，除以 $N$ ，平均每次就是 $x_1p_1+\cdots+x_np_n$ 。概率大的值出现得多，对平均的拉力也大，所以期望值是加权平均，不是把各个值直接平均。

图把概率画成柱子的高度，横杆在哪一点能架平，那一点就是期望值。所以期望值一定落在最小值和最大值之间，但未必是 $X$ 能取到的值：一颗骰子点数的期望值是 $\dfrac{7}{2}$ ，没有哪次能掷出 3.5。它也不是「最可能出现的值」。

像 $X$ 这样、值由试行结果决定的量叫随机变量（確率変数），把它的每个值和概率列成表，叫概率分布（確率分布）。表中各情况互斥且覆盖全部结果，所以概率加起来一定是 $1$ 。这是检查表格最可靠的办法：不是 $1$ ，就是漏了值或算错了概率。

定量表达

定义见下面的公式块。值是金额时，期望值也叫期望金额（期待金額）。参加费等于期望金额（期望收支为 $0$ ）的游戏是公平的，期望金额比参加费高就有利。比较两种游戏哪个有利，就比较两者的期望金额。

两个省力的算法。所有结果等可能时，期望值就是把每个结果对应的值全部加起来、除以结果总数，等于不列表直接平均。求「取出的数中最大的那个」的分布时，「最大值不超过 $k$ 」只要全部从 $1$ 到 $k$ 里取，好数，所以 $P(X=k)=P(X\le k)-P(X\le k-1)$ ；最小值同理用「都不小于 $k$ 」。

每次成功概率为 $p$ 的试行重复 $n$ 次，成功次数的期望值是 $np$ ，例如掷骰子 12 次，出 1 点次数的期望值是 2。证明放在 Course 2 的「随机变量的变换与和」，Course 1 的题里可以拿它验算。

E=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\qquad(p_1+p_2+\cdots+p_n=1)

$E$: 期望值（期待値），也写作 $E(X)$
$x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$: 随机变量 $X$ 可能取的全部值
$p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n$: $X$ 分别取这些值的概率
$n$: $X$ 可能取的值的个数

适用条件

$x_1,\dots,x_n$ 要列全，并且互不重叠（对应的情况互斥），所以概率之和必须是 $1$
值可以是负数（如要付出的钱），照样带符号相乘

怎么用

求期望值按四步：① 列出 $X$ 能取的全部值；② 求每个值的概率，分母统一，不急着约分；③ 列成表，检查概率之和为 $1$ ；④ 值乘概率再相加。值有时要先从情境里算出来，例如按取出的三个顶点构成什么形状，分别求出周长或面积，再按形状分类求概率。

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