条件概率与乘法定理

为什么是这样

已知 $A$ 发生，等于把所有可能的结果缩小到 $A$ 里面，而这些结果之间仍然等可能。$B$ 现在的概率，就是 $A$ 里同时属于 $B$ 的那部分占 $A$ 的比例：$\dfrac{n(A\cap B)}{n(A)}$。分子分母都除以全体的个数，就是 $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$。

两边乘 $P(A)$，得到乘法定理。图把全体画成面积为 1 的正方形：先按选哪个袋竖着切，宽度是 $P(A)$；每一列里再按红球的比例横着切，高度是条件概率。涂色块的面积 = 宽 × 高，正是 $P(A)P_A(\text{红})$。已知取出红球，就只看涂色部分，问来自哪个袋，就是比较涂色块的面积。

回到抽签。甲乙都中：$\dfrac{2}{8}\times\dfrac{1}{7}=\dfrac{2}{56}$；甲不中乙中：$\dfrac{6}{8}\times\dfrac{2}{7}=\dfrac{12}{56}$。两种互斥，乙中奖共 $\dfrac{14}{56}=\dfrac{1}{4}$，和甲相同。不知道前面的结果时，第几个抽都一样。

如果 $P_A(B)=P(B)$，知道 $A$ 发生并不改变 $B$ 的概率，称 $A$、$B$ 独立（独立），乘法定理就变成上一节的 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$；不相等时称从属（従属）。独立时把 $A$、$B$ 中任一个或两个换成对立事件（如 $\overline{A}$），仍然独立。

定量表达

定义和乘法定理见公式块，分母永远是已知发生了的那个事件。也可以直接在缩小后的范围里数：已知甲抽到空签，剩下 7 张里有 2 张中奖，乙中奖就是 $\dfrac{2}{7}$。

结果有几条来路时，按来路拆成互斥的情况再相加：$P(R)=P(A)P_A(R)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(R)$。反过来问「已知结果是 $R$，来路是 $A$ 的概率」，按定义写成 $P_R(A)=\dfrac{P(A)P_A(R)}{P(R)}$：分子是经过 $A$ 到达 $R$ 的那一枝，分母是所有到达 $R$ 的枝之和。这就是「原因の確率」，不用另背公式。

数据零散（如给出 $P(A)$、$P_A(B)$、$P_{\overline{A}}(\overline{B})$）时，把全体分成 $A\cap B$、$A\cap\overline{B}$、$\overline{A}\cap B$、$\overline{A}\cap\overline{B}$ 四块，用 $P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)$ 之类的关系逐块填出来。