独立试行与反复试行

为什么是这样

两个试行独立（独立），指一个的结果不影响另一个的结果怎样出现。硬币 2 种 × 骰子 6 种，共 12 种等可能的结果，「正面且出 6」只占 1 种，$\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{6}$。一般地，$A$ 占前一个试行的 $\dfrac{a}{m}$、$B$ 占后一个的 $\dfrac{b}{n}$，合起来的 $mn$ 种结果里两者都满足的有 $ab$ 种，比例正好是两个比例之积。三个以上的独立试行也一样连乘。

独立要看抽取方式。从袋里取球后放回（復元抽出），每次面对的袋子都一样，各次独立；不放回（非復元抽出），前面取走什么会改变后面的袋子，就不独立，要用下一节的乘法定理。还要分清两个词：互斥（排反）说的是同一次试行里两件事不能同时发生，是相加的条件；独立说的是两次试行互不影响，是相乘的条件。

反复试行里，设每次成功的概率为 $p$、失败为 $q=1-p$。先看一种具体顺序，比如 $n$ 次里前 $r$ 次成功、其余失败，各次独立，概率是 $p^rq^{n-r}$。换成别的顺序，相乘的仍是 $r$ 个 $p$ 和 $n-r$ 个 $q$，概率不变。成功落在哪 $r$ 次，有 ${}_n\mathrm{C}_r$ 种选法，这些顺序互斥，相加就得到公式。图里列出了 $n=4$、$r=2$ 的全部 6 种顺序。

定量表达

独立试行中，前一个试行出现 $A$、后一个出现 $B$ 的概率是 $P(A)P(B)$。反复试行中恰好成功 $r$ 次的概率见下面的公式块。把 $r=0,1,\dots,n$ 的概率全部加起来，正好是 $(p+q)^n=1$ 的二项展开，可以用来检查。

三种常见变形。至少成功 1 次：用对立事件（余事象），$1-q^n$。成功 $r$ 次以上：把各个 $r$ 的概率相加，项多时用 1 减去少的那几项。第 $n$ 次恰好是第 $r$ 次成功：前 $n-1$ 次里恰好成功 $r-1$ 次，第 $n$ 次再成功，概率为 ${}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}\,p^{r-1}q^{n-r}\times p$。最后一次被固定成成功，不能放进组合数里一起选，图中框出的 3 行就是这种情况。