教材 · 数学 Course 2 · 概率与统计 · 场合数与概率
组合 組合せ
5 場合の数と確率 ／ 順列・組合せ
一句话结论 组合只选不排：n C r = n P r r ! {}_n\mathrm{C}_r=\dfrac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!} n C r = r ! n P r r r r r ! r! r ! 有相同东西的排列、最短路线、分组、重复组合，都化成「在若干位置里选哪几个」；分组时，人数相同又没有名称的 k k k k ! k! k !
从 5 名候选人里选 3 名代表，选出的 3 人没有分工，先念到谁都一样。照排列去算会得到 5 P 3 = 60 {}_5\mathrm{P}_3=60 5 P 3 = 60 3 ! = 6 3!=6 3 ! = 6
为什么是这样 先选后排就是排列：每一组 3 人能排出 3 ! 3! 3 ! = = = × 3 ! \times3! × 3 ! = 5 P 3 3 ! = 10 =\dfrac{{}_5\mathrm{P}_3}{3!}=10 = 3 ! 5 P 3 = 10 n C r × r ! = n P r {}_n\mathrm{C}_r\times r!={}_n\mathrm{P}_r n C r × r ! = n P r
两条性质都能从「选」来理解。选 r r r n − r n-r n − r n C r = n C n − r {}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r} n C r = n C n − r n − 1 n-1 n − 1 r − 1 r-1 r − 1 n − 1 n-1 n − 1 r r r n C r = n − 1 C r − 1 + n − 1 C r {}_n\mathrm{C}_r={}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}+{}_{n-1}\mathrm{C}_r n C r = n − 1 C r − 1 + n − 1 C r
有相同东西的排列也用组合数：把 aaabb 排成一列，只是在 5 个位置里选 3 个放 a，5 C 3 = 10 {}_5\mathrm{C}_3=10 5 C 3 = 10
一组选法对应 3! 种排列，所以组合数等于排列数除以 3!；重复组合用 ○ 和隔板 从 A～E 中选 3 个：先选，再排 A B C D E {A, C, E} 组合：1 种选法 → 排顺序 ACE AEC CAE CEA EAC ECA 排列：3! = 6 种 排列数 60 ＝ 组合数 10 × 3! → 组合数 ＝ 60 ÷ 6 重复组合：3 种水果买 6 个（可以不买某种） ○ ○ | ○ ○ ○ | ○ → 苹果 2 个、梨 3 个、桃 1 个 6 个 ○ 和 2 根隔板共 8 个位置，选 2 个放隔板：₈C₂ = 28 种 定量表达 组合数 n C r = n ! r ! ( n − r ) ! {}_n\mathrm{C}_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!} n C r = r ! ( n − r )! n ! n n n p p p q q q r r r n ! p ! q ! r ! ⋯ \dfrac{n!}{p!q!r!\cdots} p ! q ! r ! ⋯ n !
图形计数：任意三点不共线的 n n n n C 2 {}_n\mathrm{C}_2 n C 2 n n n n C 2 − n {}_n\mathrm{C}_2-n n C 2 − n 共线的三点不行 ，要减去。m m m n n n m C 2 × n C 2 {}_m\mathrm{C}_2\times{}_n\mathrm{C}_2 m C 2 × n C 2
分组：先当组有名称，依次选人相乘。组没有名称时，人数相同的 k k k k ! k! k ! 8 C 4 × 4 C 2 ÷ 2 ! = 210 {}_8\mathrm{C}_4\times{}_4\mathrm{C}_2\div2!=210 8 C 4 × 4 C 2 ÷ 2 ! = 210
怎么用 先判断要不要顺序：把选出的东西互换一下，结果变不变？不变（选委员、抽卡、同时取球）用组合，变（排名次、排座位、组数字）用排列。有「至少」就用全体减反面：6 男 4 女里选 3 人、至少 1 名女生，有 10 C 3 − 6 C 3 = 120 − 20 = 100 {}_{10}\mathrm{C}_3-{}_6\mathrm{C}_3=120-20=100 10 C 3 − 6 C 3 = 120 − 20 = 100
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