等差数列及其和

为什么是这样

把数排成一列就是数列（数列），每个数叫项（項），第一个叫首项（初項）。第 $n$ 项记作 $a_n$，整个数列记作 $\{a_n\}$。项数有限的叫有限数列，最后一项叫末项；一直延续下去的叫无限数列。$a_n$ 由号码 $n$ 决定，用 $n$ 写出的 $a_n$ 叫一般项（一般項）。

每一项加上同一个数 $d$ 得到下一项，这样的数列叫等差数列，$d$ 叫公差（公差）。从首项走到第 $n$ 项只走了 $n-1$ 步，所以第 $n$ 项是首项加 $n-1$ 个 $d$。把点 $(n,\,a_n)$ 画出来，它们落在一条斜率为 $d$ 的直线上：一般项是 $n$ 的一次式，反过来一般项是 $n$ 的一次式的数列一定等差。三个数 $x,\ y,\ z$ 成等差，就是 $y$ 恰好在 $x$、$z$ 正中间，$y$ 叫等差中项。

求和不必一项项加。把和正着写一行、倒着写一行，上下对齐相加：上面每往右一格多 $d$，下面就少 $d$，所以每一列都等于首项加末项（图）。$n$ 列加起来是和的两倍，于是和等于项数乘以首末项的平均。

定量表达

设首项 $a$、公差 $d$、末项 $l$，从首项到第 $n$ 项的和记为 $S_n$，公式见下面的公式块。$a$ 和 $d$ 一定，数列就完全确定，所以几乎每道题都先把条件写成 $a$、$d$ 的联立方程。

两个推论常用。一般项是 $a_n=pn+q$ 时，$a_{n+1}-a_n=p$ 与 $n$ 无关，所以它是首项 $p+q$、公差 $p$ 的等差数列；每隔几项取一项也还是等差，$a_3,\ a_6,\ a_9,\ \ldots$ 的公差是 $3p$。另外，$S_n$ 是 $n$ 的二次式且没有常数项，可以用来检查答案。各项倒数成等差数列的数列叫调和数列（調和数列），先取倒数就回到等差数列。