教材 · 数学 Course 2 · 数列与微积分
微分法
微分法
微分系数与导函数、各种函数的导数、高阶导数，切线、增减与极值、最大最小、图像、速度与加速度、近似式。
学习目标
- 能按定义（极限）和公式求多项式的微分系数与导函数，写出曲线在已知点、已知斜率、经过已知点时的切线和法线方程
- 能用积、商、合成函数的求导法则，求分数、根号、三角、指数、对数函数的导数和高阶导数
- 能列增减表求极值和区间上的最大最小，用曲线与水平线的交点讨论方程实数解的个数、用差函数的最小值证明不等式，并画出含凹凸、渐近线的函数图像，求速度、加速度与近似值
前四节只用多项式（数学 II 的范围），按顺序读：「微分系数与导函数」从平均变化率讲到导函数和求导公式；「切线与法线」写切线方程，处理切点未知、经过一点的切线；「增减与极值」用 的正负列增减表、求极值；「最大最小与方程、不等式」把极值和端点比较求最值，并用同一张图数方程的解、证不等式，这一节是 EJU 微分大题的主干。后六节把函数推广到数学 III：「导数的计算」讲积、商、合成函数与反函数的求导，「各种函数的导数」讲三角、指数、对数函数，「高阶导数」讲二阶以上的导数；有了这些，「函数的图像」用 看凹凸与拐点、用极限找渐近线；最后「速度与加速度」「近似式」是导数在运动和估算上的两个应用。切线、极值、最值的方法在后六节完全照用，只是导数换了，前四节读透，后面只需补上新函数的求导。
- 1微分系数与导函数微分係数と導関数微分系数 是平均变化率（割线斜率）在 时的极限，也就是 处切线的斜率。对每个 求出它，得到导函数 ；多项式用 、常数的导数为 、逐项微分三条就能求导。
- 2切线与法线接線と法線切线由「切点」和「那里的微分系数」决定：。切点不知道就设成 ，用题目条件解出 。法线与切线垂直，斜率是 。代数上「相切」就是「重根」：曲线减去切线，含因式 。
- 3增减与极值関数の増減と極値 的区间上 增加， 的区间上减少； 由正变负的点是极大，由负变正的点是极小。 只是候选，不变号就不是极值。三次函数有没有极值，看 的判别式是否 。
- 4最大最小与方程、不等式最大・最小と方程式・不等式最大最小：把区间内的极值和两端的值放在一起比。实数解的个数：把参数分离成 ，数曲线与水平线 的交点。不等式：证差 的最小值为正。极大值不一定是最大值；参数的分界值就是极值。
- 5导数的计算（积、商、合成、反函数）導関数の計算积：；商：；合成：外层求导后乘内层的导数；反函数：。幂函数公式 由它们推广到一切有理数 。求导的前提是可导：可导一定连续，连续未必可导。
- 6各种函数的导数いろいろな関数の導関数，，；，。其他底只差常数 。EJU 里不写底的 是自然对数。积、商、幂交织或 型的函数，两边取对数再求导。
- 7高阶导数第n次導関数对 再求导得 ，反复 次得 。参数表示的曲线 ；方程给出的曲线两边对 求导，含 的项多乘 。第 2 次导数都要对 求，不能只对 求。
- 8各种曲线的切线いろいろな曲線の接線切线仍是 ： 型 ，方程型两边对 求导，参数型 。多出三件要查的事：切点在定义域内且可导；分母为 0 的点有竖直切线 ； 不变号时才能拿切点方程的解数当切线条数。
- 9函数的图像（凹凸、拐点、渐近线）関数のグラフ一阶导数的符号定升降，二阶导数的符号定凹凸，极限定两端： 下に凸、 上に凸， 变号的点是拐点，曲线无限贴近的直线是渐近线。 不等于极值， 也不等于拐点，两者都要看前后有没有变号。
- 10速度与加速度速度と加速度位置对时间求导得速度，再求导得加速度。速度、加速度带符号或方向；速さ、加速度的大小取绝对值或向量的长度。速度向量沿轨迹的切线；速さ不变时加速度也可以不为 0，匀速圆周运动的加速度始终指向圆心。
- 11近似式近似式 十分小时 ：在一点附近用切线代替曲线。求近似值时先把数改写成「好算的值＋很小的偏差」，角换成弧度；微小变化写成 。