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教材 · 数学 Course 2 · 数列与微积分

积分法

積分法

不定积分与定积分、置换积分与分部积分、各种函数的积分，面积、体积、曲线的长度。

学习目标

  • 能把被积函数整理成公式表里的项，或看出它是合成函数、乘积的导数，用置换积分、分部积分求出不定积分和定积分，并求导检验结果
  • 能画图找出交点和上下关系，用定积分求曲线与直线、曲线与曲线围成的面积，并用 ∣a∣6(β−α)3\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 这类速算公式直接写出抛物线的面积
  • 能处理含定积分的函数（设常数、对上端求导），并用定积分求旋转体的体积和曲线的长度
阅读路线

本章前两节是数学 II 的内容，只用多项式：「不定积分与定积分（多项式）」讲积分是微分的逆运算、定积分的定义和性质、−16(β−α)3-\dfrac16(\beta-\alpha)^3 公式；「面积（多项式）」讲面积为什么是「上减下」的定积分，以及抛物线面积的速算公式，这两节是 EJU 积分题出现最多的地方，先读透。接下来是数学 III：「不定积分的基本性质」把导数公式表倒过来，得到分数指数、三角、指数、对数函数的积分公式；「置换积分与分部积分」把合成函数和积的求导倒过来用；「各种函数的积分」用它们处理分式、根式和三角函数的乘积、高次幂；「定积分及其置换、分部」讲置换时连上下端一起换，以及奇偶性；「定积分的各种问题」讲含定积分的函数、定积分与不等式、区分求积法（和的极限）。最后三节是应用：「面积」把面积推广到各种函数和参数曲线，「体积」用截面积求体积和旋转体，「曲线的长度」求曲线的长度和点运动的路程。按顺序读，后一节都要用前一节的计算；时间紧的人，先保证前两节和置换、分部积分，再看面积和体积。

  1. 1不定积分与定积分（多项式）不定積分と定積分不定积分是微分的逆运算，答案带积分常数 CC；定积分 ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) 是一个数，与 CC 无关。多项式逐项用「次数加 1、除以新次数」；乘积先展开。∫αβ(x−α)(x−β) dx=−16(β−α)3\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac16(\beta-\alpha)^3 要熟到直接套。上下端是常数的定积分是一个数，设成字母；上端是 xx 的定积分是 xx 的函数，求导就得到被积函数。積分とその基本的な性質 · 约 1700 字
  2. 2面积（多项式）面積面积 ＝ ∫ab\int_a^b（上的式子 − 下的式子）dxdx。先画图找交点和上下关系，上下交换处分段。抛物线与直线（或两条抛物线）围成的面积直接用 ∣a∣6(β−α)3\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3；定积分本身可正可负，面积必须为正，带绝对值的积分按正负分段。面積 · 约 1700 字
  3. 3不定积分的基本性质不定積分の基本性質积分公式表就是导数公式表倒过来： xαx^\alpha 次数加 1 再除以新次数（α≠−1\alpha\ne-1），1x\dfrac1x 积成 log⁡∣x∣\log|x|，sin⁡\sin 积成 −cos⁡-\cos，1cos⁡2x\dfrac{1}{\cos^2x} 积成 tan⁡x\tan x，axa^x 积成 axlog⁡a\dfrac{a^x}{\log a}。积之前先把根式化成分数指数、把分式拆成几项、用三角恒等式变形；算完求导检验。積分とその基本的な性質 · 约 1600 字
  4. 4置换积分与分部积分置換積分法・部分積分法被积函数里能看到「内层函数和它的导数」就置换，是「两种函数的乘积」就分部。f(ax+b)f(ax+b) 型直接积，别忘了 1a\dfrac1a；g′(x)g(x)\dfrac{g'(x)}{g(x)} 积成 log⁡∣g(x)∣\log|g(x)|；根式整个设成 tt。分部积分让求导后变简单的一方当 ff：多项式乘三角、指数时 ff 取多项式，多项式乘对数时 ff 取对数。置換積分法・部分積分法 · 约 1600 字
  5. 5各种函数的积分いろいろな関数の積分积分的难点只有三种：分母、根号、次数。分数函数先降分子次数、再拆部分分式；根式把根号整体换成 tt；三角函数偶次幂降次、奇次幂拆一个出来令 t=sin⁡xt=\sin x 或 t=cos⁡xt=\cos x；exsin⁡xe^x\sin x 型分部两次，原式再出现时移项解出。いろいろな関数の積分 · 约 1300 字
  6. 6定积分及其置换、分部定積分の置換積分・部分積分定积分换元时，dxdx 和积分区间一起换成 tt 的，算完不必换回。a2−x2\sqrt{a^2-x^2} 令 x=asin⁡θx=a\sin\theta，1x2+a2\dfrac{1}{x^2+a^2} 令 x=atan⁡θx=a\tan\theta；区间 [−a,a][-a,a] 上奇函数积分为 00、偶函数是一半的 22 倍；分部积分的 [fg]ab\Big[fg\Big]_a^b 当场代值；带绝对值先在零点切开区间。置換積分法・部分積分法 · 约 1400 字
  7. 7定积分的各种问题定積分の種々の問題上下限是常数的定积分是一个数，记作 kk；上限含 xx 的定积分是 xx 的函数，对 xx 求导就去掉积分号。和的极限提出 1n\dfrac1n、把第 kk 项写成 f ⁣(kn)f\!\left(\dfrac kn\right)，就是 ∫01f(x) dx\int_0^1f(x)\,dx；比较长方形与曲线的上下位置，可以用积分夹住和。積分とその基本的な性質 · 约 1200 字
  8. 8面积面積面积 ＝ 每一细条的「上 − 下」加起来。先求交点把区间切开，每段确认谁在上，再积分；横着切时换成「右 − 左」对 yy 积分；参数曲线不消去 tt，把 dxdx 换成 f′(t) dtf'(t)\,dt，上下限按 xx 的两端对应。面積 · 约 1500 字
  9. 9体积体積体积 ＝ 截面积对垂直方向的积分。旋转体的截面是圆或圆环：绕 xx 轴 V=π∫(f2−g2) dxV=\pi\int(f^2-g^2)\,dx，内外半径各自平方；绕 yy 轴对调 xx、yy；图形跨轴时先翻折到同侧再取外边。体積 · 约 1400 字
  10. 10曲线的长度曲線の長さ曲线的长度 ＝ 小斜边加起来 ＝ 速度的大小对时间积分。参数式 L=∫x′2+y′2 dtL=\int\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt，y=f(x)y=f(x) 时 L=∫1+f′2 dxL=\int\sqrt{1+f'^2}\,dx；根号里要整理成完全平方，开方加绝对值。直线运动的道のり是 ∫∣v∣ dt\int|v|\,dt，不是 ∫v dt\int v\,dt。曲線の長さ · 约 1400 字