各种函数的积分

为什么是这样

能直接查表的只有 $x^\alpha$、$\dfrac1x$、$e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\dfrac{1}{\cos^2x}$ 几种，再加两件工具：置换把 $f(g(x))g'(x)$ 化成 $f(u)$，分部把积的一个因子求导、另一个积分。所以每道题都在问：哪一步改写能让被积函数落进这张表。

分数函数难在分母。分子次数不低于分母，先做除法分出整式；分母分解成一次式的积，就拆成 $\dfrac{k}{x-a}$ 的和，每项积成 $k\log|x-a|$；分子恰是分母的导数，直接得 $\log|g(x)|$；分母是 $(ax+b)^n$，令 $t=ax+b$，逐项除开就只剩 $t$ 的幂。

根式难在根号。$\sqrt[n]{ax+b}$ 整体令为 $t$，$x$ 变成 $t$ 的多项式，根号消失；分母是两个根式的和或差，先有理化。

三角函数难在次数。偶次幂用半角公式降次，积用积化和差；奇次幂拆出一个 $\cos x$ 当作 $(\sin x)'$，其余用 $\cos^2x=1-\sin^2x$ 改写，令 $t=\sin x$ 就是多项式。$e^x\sin x$ 分部一次变成 $e^x\cos x$，再分部一次又回到 $e^x\sin x$：原积分在等号两边各出现一次，当作未知数移项即可。

定量表达

下面三条是最常用的改写。拆部分分式时，系数也可以这样求：设 $\dfrac{2x+7}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+2}$，两边乘 $(x-1)(x+2)$ 得 $2x+7=a(x+2)+b(x-1)$，代 $x=1$ 得 $a=3$，代 $x=-2$ 得 $b=-1$。

$\sin^nx$ 的高次幂反复降次很累，用分部积分可得递推式 $I_n=-\dfrac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$，每次降两次，下一节在定积分里用它。