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教材 · 数学 Course 2 · 数列与微积分 · 积分法

面积（多项式）

面積

20 積分法 ／ 面積
一句话结论

面积 ＝ ∫ab\int_a^b（上的式子 − 下的式子）dxdx。先画图找交点和上下关系，上下交换处分段。抛物线与直线（或两条抛物线）围成的面积直接用 ∣a∣6(β−α)3\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3；定积分本身可正可负，面积必须为正，带绝对值的积分按正负分段。

把曲线下面的图形切成很多竖条，每条宽 Δx\Delta x、高 f(x)f(x)，面积约为 f(x)Δxf(x)\Delta x。让左端固定、右端往右推，面积每多推出一点，就多出一个竖条：面积的增加速度就是 f(x)f(x)。增加速度是 f(x)f(x) 的东西，正是 f(x)f(x) 的原函数，所以面积可以用定积分算。这一节把这句话变成计算方法，再整理出 EJU 最爱的几个速算公式。

为什么是这样

设 a≤x≤ba\le x\le b 上 f(x)≥0f(x)\ge0，把从 aa 到 xx 的曲线下面积记作 S(x)S(x)。xx 增加 Δx\Delta x 时，增加的那一窄条夹在高为最小值和最大值的两个长方形之间，所以 ΔSΔx\dfrac{\Delta S}{\Delta x} 等于条中某处的高 f(t)f(t)。Δx→0\Delta x\to0 时 t→xt\to x，得 S′(x)=f(x)S'(x)=f(x)。于是 S(x)=F(x)+CS(x)=F(x)+C，由 S(a)=0S(a)=0 得 S(b)=F(b)−F(a)=∫abf(x) dxS(b)=F(b)-F(a)=\int_a^bf(x)\,dx。

曲线在 xx 轴下方时 ∫abf(x) dx\int_a^bf(x)\,dx 是负的，面积要取 −∫abf(x) dx-\int_a^bf(x)\,dx。两条曲线之间的面积是「上减下」：即使曲线穿到 xx 轴下面，把两条一起向上平移 kk，竖条的高 {f(x)+k}−{g(x)+k}\{f(x)+k\}-\{g(x)+k\} 不变，面积也不变，所以不必管 xx 轴在哪里。

所以定积分不等于面积：定积分把 xx 轴下方算成负的，与上方抵消；面积每块都是正的，∫ab∣f(x)∣ dx\int_a^b|f(x)|\,dx 才是总面积。

面积与定积分：面积的增量是一条竖条；x 轴下方的部分定积分为负；两曲线之间是上减下xyOS(x)axx＋ΔxΔSΔS≈f(x)Δx所以 S′(x)＝f(x)xyO＋−＋定积分：下方算负，会抵消面积：每块都取正xyO高＝上−下y＝f(x)y＝g(x)穿过 x 轴也不影响S＝∫{f(x)−g(x)}dx

定量表达

算面积分四步：① 画出大致的图（顶点、极值不必精确）；② 解方程求交点，定下积分区间；③ 判断区间里谁在上；④ 积分。带绝对值的 ∫03∣x2−x−2∣ dx\int_0^3|x^2-x-2|\,dx 也一样，在 x2−x−2=0x^2-x-2=0 落在区间里的根 x=2x=2 处分段，负的一段加负号再积。

抛物线与直线交于 x=αx=\alpha、x=βx=\beta 时，两式之差可以写成 a(x−α)(x−β)a(x-\alpha)(x-\beta)，套上一节的 −16-\dfrac16 公式，面积就是 ∣a∣6(β−α)3\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3，交点是无理数也不用代入。两条切线的情形，被积函数是 a(x−α)2a(x-\alpha)^2 这样的完全平方，用 ∫(x−α)2dx=(x−α)33+C\int(x-\alpha)^2dx=\dfrac{(x-\alpha)^3}{3}+C 积，结果是 ∣a∣12(β−α)3\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3，正好是弦围成面积的一半。

曲线是 x=f(y)x=f(y)（横放的抛物线）时，对 yy 积分，用「右减左」，同样能套 ∣a∣6\dfrac{|a|}{6}。

y＝x² 与 x＝−1、2 处的弦、两条切线：弦围成 (β−α)³/6，切线围成 (β−α)³/12，比为 2:1xyOαβS₁弦与抛物线：S₁＝|a|(β−α)³／6被积函数 −a(x−α)(x−β)xyOx＝(α＋β)／2S₂两条切线：S₂＝|a|(β−α)³／12被积函数是 a(x−α)²、a(x−β)²S₁：S₂＝2：1，与抛物线和 α、β 的位置无关
S=∣a∣6(β−α)3S=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3
SS
抛物线与直线（或两条抛物线）围成的面积
aa
两式相减后 x2x^2 的系数（两条抛物线时是首项系数之差）
α, β\alpha,\ \beta
两交点的 xx 坐标，α<β\alpha<\beta
适用条件
  • 依据是 ∫αβ(x−α)(x−β) dx=−16(β−α)3\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac16(\beta-\alpha)^3
  • 抛物线 y=ax2+⋯y=ax^2+\cdots 与它在 x=αx=\alpha、x=βx=\beta 处的两条切线围成的面积是 ∣a∣12(β−α)3\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3，两切线交点的 xx 坐标是 α+β2\dfrac{\alpha+\beta}{2}
  • 三次函数 y=f(x)y=f(x)（首项系数 aa）与它在 x=αx=\alpha 处的切线另交于 x=βx=\beta 时，围成的面积是 ∣a∣12(β−α)4\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4

怎么用

EJU 的问法：「放物線 CC と直線 ℓ\ell で囲まれた部分の面積は」「CC と xx 軸で囲まれた部分の面積が直線 y=mxy=mx によって2等分されるとき」。求平分的条件，不要去算两块各自的面积，而用「直线上方那块 S1S_1 的两倍等于整块 SS」，两块都能套 ∣a∣6\dfrac{|a|}{6} 公式。

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