面积

为什么是这样

定积分是带符号的：曲线在 $x$ 轴上方的部分记正，下方的记负，两者会互相抵消。面积却永远为正，所以每一细条的高必须是「上面的减下面的」。一条曲线和 $x$ 轴之间，高就是 $|f(x)|$；在 $f(x)$ 变号的点把区间切开，每段去掉绝对值再积分。

两条曲线之间，细条的高是「上曲线 − 下曲线」，和图形在不在 $x$ 轴上方无关：把两条曲线一起向上平移，图形不变，高也不变。所以只要知道每一段谁在上面。两条曲线一交叉，上下就换位，交点正是切开区间的地方。

竖着切不方便时就横着切：曲线写成 $x=g(y)$，横条的宽是「右 − 左」，对 $y$ 积分。$\log x$、$\sqrt x$ 这类曲线和 $y$ 轴围成的图形，横切常常一个积分就够，竖切却要分两段。

参数曲线 $x=f(t)$、$y=g(t)$ 不必消去 $t$：细条照样是 $y\,dx$，只把 $dx$ 换成 $f'(t)\,dt$。要小心方向：$x$ 从左走到右时，$t$ 可能是从大变到小。

定量表达

下面的公式块是三种切法。一条曲线与 $x$ 轴取 $g(x)=0$，就是 $S=\int_a^b|f(x)|\,dx$。带绝对值的式子只是记号，真正计算时按交点切段，每段写成「上 − 下」或「右 − 左」，绝对值自然消失。

参数曲线的上下限最容易错。例如 $x=\cos t$、$y=\sin t$（$0\le t\le\pi$）是上半圆，$x$ 从 $-1$ 到 $1$ 对应 $t$ 从 $\pi$ 到 $0$，所以 $S=\int_\pi^0\sin t\,(-\sin t)\,dt=\int_0^\pi\sin^2t\,dt=\dfrac{\pi}{2}$。若写成 $\int_0^\pi$，会得到 $-\dfrac\pi2$：负号就是方向写反的信号。