曲线的长度

曲線の長さ

20 積分法／曲線の長さ

一句话结论

曲线的长度＝小斜边加起来＝速度的大小对时间积分。参数式 $L=\int\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$ ， $y=f(x)$ 时 $L=\int\sqrt{1+f'^2}\,dx$ ；根号里要整理成完全平方，开方加绝对值。直线运动的道のり是 $\int|v|\,dt$ ，不是 $\int v\,dt$ 。

用尺子量一条弯曲的路，可以把它分成很多很短的小段，每段近似成一条斜线，用勾股定理求出长度再加起来。积分求曲线的长度就是这样做的，只是小段的长度写成了导数的式子。运动的点也一样：速度的大小乘一小段时间是走过的一小段路，加起来就是道のり。

为什么是这样

在曲线上取相邻两点，横向差 $\Delta x$ 、纵向差 $\Delta y$ ，两点间的弧长 $\Delta s$ 近似等于斜边 $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ 。曲线用参数 $t$ 表示时，两边除以 $\Delta t$ 再令 $\Delta t\to0$ ，得 $\dfrac{ds}{dt}=\sqrt{\Big(\dfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\dfrac{dy}{dt}\Big)^2}$ ，弧长就是它的积分。

把 $t$ 看成时间， $\Big(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}\Big)$ 正是速度向量，根号就是速度的大小（速さ）。所以「曲线的长度」和「点走过的道のり」是同一个积分。曲线写成 $y=f(x)$ 时，把 $x$ 本身当参数， $\dfrac{dx}{dx}=1$ ，根号里变成 $1+\{f'(x)\}^2$ 。

直线上的运动更简单。速度 $v$ 可正可负， $\int v\,dt$ 是位置的变化（位移），往回走的部分会抵消；道のり把往回走的也算上，是 $\int|v|\,dt$ 。这和面积要给 $f(x)$ 加绝对值是同一个道理。已知位置 $x(t)$ 时也可以不积分，在掉头时刻切段相减，见「速度与加速度」。

定量表达

长度的两条公式见下面的公式块，直线运动的位置与道のり见公式一览。注意长度的上下限总是从小到大，和面积的参数式按 $x$ 的两端对应不同。

根号很难直接积分，所以题目会让根号里正好是完全平方。常见的有三种：① 用 $1-\cos t=2\sin^2\dfrac t2$ （摆线 $x=t-\sin t$ 、 $y=1-\cos t$ 一类）；② 用 $\sin^2t+\cos^2t=1$ 消去交叉项（圆、星形线、滚动的圆）；③ $1+\{f'(x)\}^2$ 凑成平方，如 $y=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{\log x}{2}$ 时 $1+y'^2=\Big(\dfrac x2+\dfrac1{2x}\Big)^2$ 。开方后写 $|A|$ ，按 $A$ 的符号切开区间。

L=\int_\alpha^\beta\sqrt{\Big(\dfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\dfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt\qquad L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx

$L$: 曲线的长度（运动问题里就是道のり）
$t$: 参数（运动问题里是时刻）
$x,\ y$: 曲线上点的坐标，第一式里是 $t$ 的函数 $x=f(t)$ 、 $y=g(t)$
$\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}$: 坐标对 $t$ 的导数，合起来是速度向量；根号整体是速度的大小
$\alpha,\ \beta$: 参数的起点与终点， $\alpha<\beta$
$f'(x)$: 第二式里曲线 $y=f(x)$ 的导数（斜率）
$a,\ b$: 第二式里 $x$ 的两端， $a<b$

适用条件

导数在区间上连续；长度为正，所以下限取小的那个（ $\alpha<\beta$ ， $a<b$ ），这和面积的参数式不同
开根号时 $\sqrt{A^2}=|A|$ ，要在 $A$ 变号的地方切开区间
第一式要求点沿曲线不来回重复走同一段；来回走时第一式算出的是道のり，不是曲线本身的长度

怎么用

四步：① 选公式，参数式还是 $y=f(x)$ ；② 求导，把根号里的式子整理成平方；③ 开方加绝对值，看符号切区间；④ 积分。曲线有对称性时（星形线关于两轴对称、关于 $x$ 轴对称的环）只算一块再乘倍数，顺便避开了绝对值变号。

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