置换积分与分部积分

为什么是这样

合成函数求导：$\{F(g(x))\}'=F'(g(x))\,g'(x)=f(g(x))\,g'(x)$。倒过来，被积函数若是「外层 $f$ 套着 $g(x)$，再乘上 $g'(x)$」，原函数就是 $F(g(x))$。设 $u=g(x)$，它变成 $\int f(u)\,du$。最简单的情形 $g(x)=ax+b$，$g'(x)=a$ 是常数，所以 $\int f(ax+b)\,dx=\dfrac1aF(ax+b)+C$，那个 $\dfrac1a$ 正是补上缺少的 $g'(x)$。

反方向也可以：把 $x$ 写成新变量的函数 $x=g(t)$，$dx=g'(t)\,dt$，原积分变成 $t$ 的积分。$\sqrt{x+2}$、$e^x+3$ 这类碍事的整块，直接设成 $t$，常比只设里面更省事。

积的求导：$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$。两边积分后移项，得分部积分公式。它把「积 $fg'$」换成「积 $f'g$」，只有后者更好积时才有用，所以要让求导后变简单的因子当 $f$。

定量表达

置换后三样东西都要换：被积函数、$dx$、（定积分时的）上下端。例如 $\sqrt{x-1}=t$，则 $x=t^2+1$，$dx=2t\,dt$，$\int x\sqrt{x-1}\,dx=\int(t^2+1)\,t\cdot2t\,dt$，积完把 $t$ 换回 $\sqrt{x-1}$。能直接看出 $g'(x)$ 时不必真的换字母：$\int\cos^3x\sin x\,dx=-\dfrac14\cos^4x+C$，$\int xe^{x^2}dx=\dfrac12e^{x^2}+C$，$\int\dfrac{x-1}{x^2-2x+4}\,dx=\dfrac12\log(x^2-2x+4)+C$（真数恒为正，绝对值可去）。

分部积分举例：$\int xe^{3x}dx$ 取 $f=x$、$g'=e^{3x}$，$g=\dfrac13e^{3x}$，得 $\dfrac13xe^{3x}-\int\dfrac13e^{3x}dx=\dfrac19(3x-1)e^{3x}+C$。$\int\log x\,dx$ 看成 $1\cdot\log x$，$f=\log x$、$g'=1$，得 $x\log x-x+C$，这个结果要记住。多项式是二次（如 $x^2e^{-x}$）时，一次只降一次，要连用两次分部积分，中途的积分常数最后统一写一个 $C$。