体积

为什么是这样

立体夹在 $x=a$、$x=b$ 两个平面之间，用垂直于 $x$ 轴、坐标为 $x$ 的平面去切，截面积记为 $S(x)$。从 $a$ 到 $x$ 的体积记为 $V(x)$，$x$ 增加一点点 $\Delta x$，多出的薄片近似是底面积 $S(x)$、厚 $\Delta x$ 的柱体，所以 $V'(x)=S(x)$，体积就是 $\int_a^bS(x)\,dx$。截面是什么形状都可以。

曲线 $y=f(x)$ 绕 $x$ 轴转一周，截面是半径 $|f(x)|$ 的圆，面积 $\pi\{f(x)\}^2$。两条曲线之间的图形旋转，截面是圆环：大圆减小圆，面积 $\pi(f^2-g^2)$。圆环的面积不是 $\pi(f-g)^2$，内外半径要各自平方。

图形跨在旋转轴两侧时，轴下方转出来的部分和上方的重叠。把下方翻折到上方，叠在一起，每个 $x$ 处取离轴最远的边当外半径，被盖住的部分不能再算一次。

绕 $y$ 轴旋转，就把 $x$、$y$ 的角色对调：用垂直于 $y$ 轴的平面去切，截面圆的半径是 $|x|$，体积 $\pi\int x^2\,dy$。

定量表达

三条基本式见下面的公式块。参数曲线 $x=f(t)$、$y=g(t)$ 绕 $x$ 轴时不必消去 $t$：$V=\pi\int_a^by^2\,dx=\pi\int_\alpha^\beta\{g(t)\}^2f'(t)\,dt$，上下限和面积一样，按 $x=a$、$x=b$ 对应的 $t$ 写。

绕 $y$ 轴而 $x$ 解不出来时有两条路。一是置换：$dy=f'(x)\,dx$，把 $\pi\int x^2dy$ 换回对 $x$ 的积分，上下限跟着换。二是「圆筒法」：把图形竖切成细条，每条绕 $y$ 轴转出一个半径 $x$、高 $h(x)$、厚 $dx$ 的薄圆筒，体积约 $2\pi x\,h(x)\,dx$，加起来就是公式一览里的第二式。