定积分的各种问题

为什么是这样

$\int_a^xf(t)\,dt=F(x)-F(a)$，$F(a)$ 是常数，对 $x$ 求导得 $f(x)$：面积增长的速度等于右边那条竖线的高。上限是 $g(x)$ 时 $F(g(x))$ 要按合成函数求导，多乘 $g'(x)$。积分变量是 $t$，$x$ 在积分里只是常数，被积函数含 $x$ 就先提到外面。

上下限都是常数的 $\int_0^1f(t)\,dt$ 是一个数。所以 $f(x)=x^2+\int_0^1f(t)\,dt$ 这种等式，先把积分记作 $k$，写出 $f(x)=x^2+k$，再代回去求 $k$。

把 $[0,1]$ 等分成 $n$ 份，第 $k$ 个长方形宽 $\dfrac1n$、高 $f\!\left(\dfrac kn\right)$，面积和在 $n\to\infty$ 时逼近曲线下的面积（图左）。同一张图反过来读：长方形在曲线下方，和就比积分小，这就是用积分估计和的不等式（图右）。

定量表达

区分求积的操作：从和里提出 $\dfrac1n$，把第 $k$ 项写成 $\dfrac kn$ 的函数，然后 $\sum\to\int$，$\dfrac kn\to x$，$\dfrac1n\to dx$。积分区间由 $\dfrac kn$ 的范围决定，项数是 $2n$ 就积到 $2$。

区间上 $f(x)\ge g(x)$，则 $\int_a^bf(x)\,dx\ge\int_a^bg(x)\,dx$；只要两者不恒相等，就是严格不等号。积分算不出来时，找两个夹住被积函数、又好积的函数，积分值就被夹住。