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教材 · 数学 Course 2 · 数列与微积分

数列

数列

等差与等比数列、Σ 与阶差数列、各种数列求和、漸化式、数学归纳法。

学习目标

  • 能由两项或两个和的条件求出等差、等比数列的首项与公差（公比），写出一般项和前 nn 项和，并说出公比含字母时为什么要分 r=1r=1 与 r≠1r\ne1
  • 能先写出第 kk 项，再用 ∑k\sum k、∑k2\sum k^2、∑k3\sum k^3、裂项相消、错位相减求和，用阶差数列或 Sn−Sn−1S_n-S_{n-1} 求一般项，并单独检查 n=1n=1
  • 能把漸化式化成等差、等比或阶差数列求出一般项，并用数学归纳法证明与自然数 nn 有关的等式、不等式和整除性
阅读路线

按顺序读，前三节是后两节的工具。「等差数列及其和」先交代数列的记号，再讲每次加同一个数的数列和倒序相加求和；「等比数列及其和」把加换成乘，学会错位相减和 r=1r=1 的分情况，并处理复利、积存这类应用题；「Σ、阶差数列与各种数列」引入 Σ 记号和三个基本和，学裂项相消、阶差数列、由 SnS_n 求 ana_n 和群数列；「漸化式」把「前一项怎样变成后一项」化回前面三节的数列来解，是 EJU Course 2 数列大题的主体；「数学归纳法」最后讲怎样证明对所有自然数 nn 成立的命题，也用来确认由前几项猜出的一般项。前两节熟悉的人可以只看结论和例题，把时间留给后三节。

  1. 1等差数列及其和等差数列とその和等差数列只由首项 aa 和公差 dd 决定：第 nn 项是 a+(n−1)da+(n-1)d，和是「项数 × 首末项的平均」。解题第一步总是把条件写成 aa、dd 的方程；求部分和与项数时，最容易错的是差 1。等差数列と等比数列 · 约 1400 字
  2. 2等比数列及其和等比数列とその和等比数列只由首项 aa 和公比 rr 决定：第 nn 项是 arn−1ar^{n-1}，和用错位相减求出。求和公式要除以 1−r1-r，所以永远先问一句 rr 是不是 1；从 rkr^k 求公比时，kk 为偶数要留正负两个。等差数列と等比数列 · 约 1300 字
  3. 3Σ、阶差数列与各种数列Σ・階差数列・いろいろな数列求和之前先写出第 kk 项，再按它的形状选工具：多项式用 ∑k\sum k、∑k2\sum k^2、∑k3\sum k^3；分式拆成差让中间相消；等差乘等比用错位相减。反过来求一般项，用阶差数列或 Sn−Sn−1S_n-S_{n-1}，两者都只对 n≥2n\ge2 成立，最后要检查 n=1n=1。階差数列・いろいろな数列 · 约 1600 字
  4. 4漸化式漸化式と数列递推式求一般项，就是找一个替换，把它变成等差、等比或阶差数列。最核心的 an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+q：解特性方程 α=pα+q\alpha=p\alpha+q 找平衡点，偏差 an−αa_n-\alpha 每步乘 pp，是等比数列。其余类型（多出 nn 的式子、qnq^n、分式、含 SnS_n、相邻三项、联立）都靠减、除、取倒数、取对数归结到这几种。漸化式と数列 · 约 1700 字
  5. 5数学归纳法数学的帰納法数学归纳法只证两件事：[1] 起点成立；[2] 假设 n=kn=k 时成立，推出 n=k+1n=k+1 时也成立。起点不是 11 就从起点开始，并在 [2] 写明 kk 的范围；[2] 一次用到两项，起点就要证两个。[2] 的关键是在 n=k+1n=k+1 的式子里找出 n=kn=k 的式子。数学的帰納法 · 约 1700 字