等比数列及其和

为什么是这样

每一项乘同一个数 $r$ 得到下一项，这样的数列叫等比数列，$r$ 叫公比（公比）。从首项到第 $n$ 项乘了 $n-1$ 次，所以指数比项的号码少 1，和等差数列「走 $n-1$ 步」是同一个道理。$r=1$ 是各项相同的数列；$r$ 为负时各项正负交替；$|r|>1$ 时越来越大，$|r|<1$ 时越来越接近 0。

三个都不为 0 的数 $x,\ y,\ z$ 成等比，就是 $\dfrac yx=\dfrac zy$，即 $y^2=xz$，$y$ 叫等比中项。$y^2=xz$ 只定出 $y$ 的大小，正负要靠「各项为正」之类的条件来定。

求和靠错位相减。把和 $S$ 乘以 $r$，每一项都变成它的下一项，于是 $S$ 和 $rS$ 只有头尾不同：$S$ 多一个首项 $a$，$rS$ 多一个 $ar^n$（图）。相减得 $(1-r)S=a-ar^n$。最后要除以 $1-r$，所以 $r=1$ 必须单独算，那时每项都是 $a$，和是 $na$。

定量表达

首项 $a$、公比 $r$ 的一般项和前 $n$ 项和见下面的公式块。首项和公比都不为 0 时，相邻两项之比恒等于 $r$，这就是判断一个数列是否等比的办法。

由两项求公比，常得到 $r^k=c$ 的形式。$k$ 为奇数时实数解只有一个；$k$ 为偶数且 $c>0$ 时有正负两个，两个都要往下算，再用题目条件取舍。例如 $a_1=2$、$a_3=18$ 得 $r^2=9$，数列可能是 $2,\ 6,\ 18,\ \ldots$，也可能是 $2,\ -6,\ 18,\ \ldots$。