Σ、阶差数列与各种数列

为什么是这样

$\sum_{k=1}^{n}a_k$ 读作 sigma，表示把 $k$ 从 1 换到 $n$，把 $a_k$ 全部加起来。$k$ 只是占位的字母，求和时 $n$ 是常数，可以提到 Σ 外面。Σ 能拆开和、提出常数倍，但积不能拆：$\sum a_kb_k$ 一般不等于 $\sum a_k\cdot\sum b_k$，$n=2$ 就能看出来。

$\sum k^2$ 的公式从哪来？由 $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$，把 $k=1,\ 2,\ \ldots,\ n$ 的这些式子相加，左边中间的项全部抵消，只剩 $(n+1)^3-1$；右边是 $3\sum k^2+3\sum k+n$，解出 $\sum k^2$ 即可。这种「写成相邻两项之差，相加后中间全消」的办法叫裂项相消，例如 $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$，加起来只剩头尾。

阶差数列是同一想法反过来用。相邻两项之差 $b_n=a_{n+1}-a_n$ 组成的数列叫阶差数列（階差数列）。从 $a_1$ 走到 $a_n$ 要跨 $n-1$ 级台阶，所以 $a_n$ 等于 $a_1$ 加上前 $n-1$ 个差（图）。$n=1$ 时一级也不跨，这个和没有意义，所以公式只对 $n\ge2$ 成立。

定量表达

三个基本和见下面的公式块，再加上常数的和 $nc$。任何以 $k$ 的多项式为第 $k$ 项的和，都先展开成 $k^3$、$k^2$、$k$ 和常数，逐个代入公式，最后提出公因式 $n$ 或 $n(n+1)$，整理成因式分解的形式。

由别的信息反推一般项有两条路。知道阶差数列 $\{b_n\}$：$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$。知道和 $S_n$：$a_1=S_1$，$n\ge2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$。两条都要再验 $n=1$。例如 $S_n=n^2+1$ 时 $n\ge2$ 得 $a_n=2n-1$，可 $a_1=S_1=2$，不是 1，答案要分开写。