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教材 · 数学 Course 2 · 数列与微积分

极限

極限

数列的极限、无穷级数、函数的极限、三角函数的极限、函数的连续性。

学习目标

  • 能说出 ∞−∞、∞/∞、0/0 型为什么不能直接下结论，并用提主导项、同除、有理化、约分或夹逼求出数列与函数的极限，包括含 rnr^n 时按 r=±1r=\pm1 分情况
  • 能由部分和判断无穷级数收敛还是发散，求出无穷等比级数、裂项型级数的和，并用它处理循环小数、弹跳总路程、图形反复操作这类题
  • 能用 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1 求三角函数的极限，由左右极限判断极限是否存在、函数是否连续，并由给定的极限值求出式子里的常数
阅读路线

按顺序读，前一节都是后一节的工具。「数列的极限」先讲收敛与发散的说法、不定型的几种变形、夹逼原理和 {rn}\{r^n\} 的四种去向，是全章的基础；「无穷级数」把级数的和定义为部分和的极限，重点是无穷等比级数和它的应用题；「函数的极限」把 n→∞n\to\infty 换成 x→ax\to a 和 x→±∞x\to\pm\infty，新增 0/0 型、左右极限和由极限值定常数；「三角函数的极限」由 sin⁡xx→1\dfrac{\sin x}{x}\to1 出发，处理带三角函数的不定型；「函数的连续性」用极限定义连续，讲中间值定理，也为下一章导数的定义做准备。时间紧的人，前两节先看结论和例题，把时间留给函数的极限和后两节，微分一章离不开它们。

  1. 1数列的极限数列の極限n→∞n\to\infty 时只看主导项：多项式看最高次，指数看最大的底，根式之差先有理化。∞−∞、∞/∞、0×∞ 这类不定型不能凭形状下结论，要先变形；求不出的极限用夹逼。{rn}\{r^n\} 收敛当且仅当 −1<r≤1-1<r\le1。数列の極限 · 约 1600 字
  2. 2无穷级数無限級数无穷级数的和，定义为部分和 SnS_n 的极限。先求 SnS_n：裂项相消或等比求和；求不出 SnS_n 而 an↛0a_n\not\to0 时，级数发散。无穷等比级数在「首项为 00 或 ∣r∣<1|r|<1」时收敛，和为 a1−r\dfrac{a}{1-r}。an→0a_n\to0 推不出收敛。無限級数の和 · 约 1600 字
  3. 3函数的极限関数の極限lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) 只看 xx 靠近 aa 时的样子，与 f(a)f(a) 无关。0/0 型就约去共同的因式（或有理化后约分）；左右极限相等极限才存在；x→−∞x\to-\infty 时 x2=−x\sqrt{x^2}=-x。已知极限求常数：分母趋于 00 而极限有限，分子必须趋于 00，求出后再验算。関数の極限 · 约 1600 字
  4. 4三角函数的极限三角関数と極限弧度制下 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1。其余三角函数的极限都是把式子凑成「sin⁡□□\dfrac{\sin\square}{\square}，同一个 □→0\square\to0」：角不同就乘除常数凑齐，角不趋于 0 就换元，1−cos⁡1-\cos 就乘 1+cos⁡1+\cos，x→∞x\to\infty 时角变大就用 −1≤sin⁡≤1-1\le\sin\le1 夹逼。関数の極限 · 约 1700 字
  5. 5函数的连续性関数の連続性f(x)f(x) 在 x=ax=a 处连续，就是左极限、右极限和 f(a)f(a) 三者相等。只在定义域内谈连续。闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值；两端函数值异号时，方程 f(x)=0f(x)=0 在区间内至少有一个解（中间值定理）。関数の連続性 · 约 1600 字