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教材 · 数学 Course 2 · 数列与微积分 · 极限

三角函数的极限

三角関数と極限

18 極限 ／ 関数の極限
一句话结论

弧度制下 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1。其余三角函数的极限都是把式子凑成「sin⁡□□\dfrac{\sin\square}{\square}，同一个 □→0\square\to0」：角不同就乘除常数凑齐，角不趋于 0 就换元，1−cos⁡1-\cos 就乘 1+cos⁡1+\cos，x→∞x\to\infty 时角变大就用 −1≤sin⁡≤1-1\le\sin\le1 夹逼。

把计算器设成弧度，依次算 0.1、0.01、0.001 的正弦，结果和输入几乎一样：角很小时，正弦值和对应的弧长几乎等长，本节唯一的新公式说的就是这件事。三角函数没法像上一节那样约分，靠的是这条公式，加上换元和夹逼。

为什么是这样

在半径 1 的扇形里取圆心角 xx（弧度，0<x<π20<x<\dfrac{\pi}{2}）。左图中三角形 OAB\mathrm{OAB}、扇形 OAB\mathrm{OAB}、三角形 OAT\mathrm{OAT} 一个套一个，面积 12sin⁡x<12x<12tan⁡x\dfrac{1}{2}\sin x<\dfrac{1}{2}x<\dfrac{1}{2}\tan x，即 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x<x<\tan x。扇形面积是 12x\dfrac{1}{2}x，靠的正是弧度。

各边除以 sin⁡x\sin x 再取倒数，得 cos⁡x<sin⁡xx<1\cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1。x→+0x\to+0 时 cos⁡x→1\cos x\to1，夹在中间的量只能也趋于 1，这就是夹逼原理。从负侧逼近时令 x=−tx=-t，sin⁡xx=sin⁡tt\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\sin t}{t} 不变，所以两侧极限都是 1。

公式讲的是比值：sin⁡x\sin x 和 xx 同样快地趋于 0，由它马上得到 tan⁡xx→1\dfrac{\tan x}{x}\to1。x→∞x\to\infty 是另一回事：分子在 −1-1 和 11 之间摆动，分母无限变大，sin⁡xx→0\dfrac{\sin x}{x}\to0（右图）。

左：面积比较得到 sin x < x < tan x；右：y = sin x / x 在 x→0 时趋于 1，在 x→∞ 时趋于 0半径 1，圆心角 x（弧度）xOAHBTsin xtan x1△OAB ＜ 扇形 OAB ＜ △OAT½ sin x ＜ ½ x ＜ ½ tan xy = sin x ／ x 的图像1x→0：趋于 1（x＝0 无定义）x→∞：趋于 0虚线是 y ＝ ±1／x，曲线被夹在中间，所以 x→∞ 时 sin x ／ x → 0。

定量表达

公式里的 xx 可以换成任何趋于 0 的式子 □\square，条件是分子的角和分母完全相同。所以 sin⁡3xx\dfrac{\sin 3x}{x} 要先凑成 sin⁡3x3x⋅3\dfrac{\sin 3x}{3x}\cdot3，极限是 3。

1−cos⁡x1-\cos x 要和 1+cos⁡x1+\cos x 配对：1−cos⁡x=sin⁡2x1+cos⁡x1-\cos x=\dfrac{\sin^2x}{1+\cos x}，于是 1−cos⁡xx2=(sin⁡xx)211+cos⁡x→12\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\dfrac{1}{1+\cos x}\to\dfrac{1}{2}。用半角公式 1−cos⁡x=2sin⁡2x21-\cos x=2\sin^2\dfrac{x}{2} 也行。

用度数时：x∘=π180xx^\circ=\dfrac{\pi}{180}x 弧度，所以 lim⁡x→0sin⁡x∘x=π180\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x^\circ}{x}=\dfrac{\pi}{180}。题目没写单位时一律按弧度。

lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→0tan⁡xx=1,lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}
xx
角，单位是弧度
sin⁡x, cos⁡x, tan⁡x\sin x,\ \cos x,\ \tan x
正弦、余弦、正切
适用条件
  • 角必须用弧度。用度数时 lim⁡x→0sin⁡x∘x=π180\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x^\circ}{x}=\dfrac{\pi}{180}，不是 11
  • xx 可以换成任何趋于 00 的式子 □\square，但分子三角函数里的角和分母必须是同一个 □\square
  • 第一条也可以倒过来用：lim⁡x→0xsin⁡x=1\lim_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}=1。后两条都由第一条推出

怎么用

先看 xx 趋于哪里。① x→0x\to0：凑同角之比，见到 1−cos⁡1-\cos 就乘 1+cos⁡1+\cos。② x→a (a≠0)x\to a\ (a\ne0)：令 t=x−at=x-a，用诱导公式化成 tt 的角，如 x→πx\to\pi 时 sin⁡x=−sin⁡t\sin x=-\sin t，sin⁡xx−π→−1\dfrac{\sin x}{x-\pi}\to-1。③ x→∞x\to\infty：角是 1x\dfrac{1}{x} 就令 t=1x→+0t=\dfrac{1}{x}\to+0；角本身变大就用 −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le1 夹逼，如 ∣cos⁡xx∣≤1x→0\left|\dfrac{\cos x}{x}\right|\le\dfrac{1}{x}\to0。

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