函数的极限

为什么是这样

$x$ 取不等于 $a$ 的值无限接近 $a$ 时，$f(x)$ 无限接近定值 $\alpha$，就写 $\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$。关键是「不等于 $a$」：开头的例子在 $x\ne1$ 时等于 $x+1$，图像是直线挖掉一个点，极限照样是 $2$。多项式这类连在一起的函数，极限就是代入值 $f(a)$；分母变成 $0$ 的点才要动脑筋。

$x$ 靠近 $a$ 有左右两条路。$x$ 从右边来记作 $x\to a+0$，从左边来记作 $x\to a-0$，两边的去向分别叫右极限、左极限。两边去同一个地方，极限才存在。图中间是 $\dfrac{x^2-x}{|x|}$：右边走向 $-1$、左边走向 $1$，在 $x=0$ 断开，没有极限。右图 $\dfrac{1}{x-1}$ 右边冲向 $\infty$、左边冲向 $-\infty$，也没有极限。

$x\to\infty$、$x\to-\infty$ 与数列的 $n\to\infty$ 相同：比谁长得快，把主导项提出来。极限的四则运算、夹逼原理也都照样成立。

定量表达

0/0 型说明分子分母有共同的「趋于 $0$ 的因素」，把它约掉。多项式用因式定理：分子分母在 $x=2$ 都为 $0$，就都含因式 $x-2$；分式先通分；根式乘共轭式，如 $\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\to\dfrac14$。约分前提醒自己 $x\ne a$，所以可以约。

$x\to\pm\infty$ 时分式同除以分母的最高次；$\sqrt{x^2+\cdots}-x$ 先有理化；指数式同除以底最大的项，对数式先用对数法则合成一个对数，算出真数的极限再代入。$x\to-\infty$ 时 $x<0$，$\sqrt{x^2}=|x|=-x$，提 $x$ 出根号要变号；不放心就设 $x=-t$，化成 $t\to\infty$。