函数的连续性

関数の連続性

18 極限／関数の連続性

一句话结论

$f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，就是左极限、右极限和 $f(a)$ 三者相等。只在定义域内谈连续。闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值；两端函数值异号时，方程 $f(x)=0$ 在区间内至少有一个解（中间值定理）。

用笔画函数图像时，有的曲线一笔就能画完，有的要在某处抬笔。抬笔的地方就是不连续。这看似只是图的样子，却撑起一个很实用的结论：一笔画成的曲线从横轴下方走到上方，中途一定穿过横轴。EJU 用它判断方程在哪个区间有解，也常问常数取什么值时函数连续。

为什么是这样

在 $x=a$ 处一笔画过去，要三件事都成立： $f(a)$ 有定义； $x$ 从左右两侧逼近 $a$ 时， $f(x)$ 趋于同一个值；这个值正好是 $f(a)$ 。图里断开的样子各缺一件：跳跃是左右极限不同；挖掉一点、把函数值放到别处，是极限存在却不等于 $f(a)$ ；趋于无穷是极限根本不存在。

只在定义域里的点谈连续。 $\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 没有定义，那里既不叫连续也不叫不连续；它在定义域每一点都连续，所以是连续函数。多项式、分数函数、无理函数、三角函数、指数函数、对数函数都在各自的定义域上连续；连续函数的和、差、积、常数倍，以及分母不为 0 的商也连续。

闭区间上的连续函数有两条性质，高中不证明直接用。一是最大值・最小值定理：一定有最大值和最小值。二是中间值定理：从高度 $f(a)$ 画到 $f(b)$ ，中间每个高度至少经过一次。区间不闭或曲线断开就可能失效，例如 $\dfrac{1}{x}$ 在 $0<x\le1$ 上没有最大值。

定量表达

连续的条件写成下面的公式块：左极限、右极限、函数值三者相等。分段函数每段内部连续时，只查接缝处。区间记号： $[a,\,b]$ 表示 $a\le x\le b$ ， $(a,\,b)$ 表示 $a<x<b$ ， $[a,\,b)$ 、 $(a,\,b]$ 只含一端， $(-\infty,\,\infty)$ 是全体实数。

两个典型的不连续：高斯记号 $[x]$ （不超过 $x$ 的最大整数）在整数 $n$ 处左极限 $n-1$ 、右极限 $n$ ，每个整数处都跳一下； $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}\ (x\ne1)$ 、 $f(1)=0$ 在 $x=1$ 处趋于 $\infty$ ，也不连续。

中间值定理用于方程： $f(x)$ 在 $[a,\,b]$ 上连续、 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，则 $f(x)=0$ 在 $a<x<b$ 至少有一个解（下图左）。它只说至少一个，不说个数；反过来也不成立， $x^2-x$ 在 $x=-1$ 、 $2$ 处都取正值，中间却有两个解。

\lim_{x\to a-0}f(x)=\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a)

$f(x)$: 要检查的函数
$a$: 定义域里的一点
$\lim_{x\to a-0}f(x)$: 左极限： $x$ 从比 $a$ 小的一侧趋于 $a$
$\lim_{x\to a+0}f(x)$: 右极限： $x$ 从比 $a$ 大的一侧趋于 $a$

适用条件

三者都存在且相等时， $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续；左右极限相等就是 $\lim_{x\to a}f(x)$ 存在
$a$ 必须在定义域里。定义域外的点不谈连续或不连续
闭区间的端点只看区间内一侧：在左端 $a$ 只要求 $\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a)$

怎么用

求使函数连续的常数：① 写出接缝处的左极限、右极限和函数值；② 令三者相等。式子是零比零时，先用「分母趋于 0，分子也必须趋于 0」定出一个常数，约分后再求极限。用极限定义的函数先分情况算出来： $f(x)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{x^{2n}+x}{x^{2n}+1}$ 在 $|x|<1$ 时为 $x$ ， $|x|>1$ 时为 1， $f(1)=1$ ， $f(-1)=0$ ，所以 $x=1$ 处连续、 $x=-1$ 处不连续。无穷级数定义的函数也一样，先求收敛范围与和，再查接缝。

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