微分系数与导函数

为什么是这样

$x$ 从 $a$ 变到 $b$ 时，$y$ 的变化量除以 $x$ 的变化量，叫平均变化率（平均変化率）。在图上，它是曲线上两点 $A(a,\,f(a))$、$B(b,\,f(b))$ 连线（割线）的斜率。

让 $B$ 沿曲线向 $A$ 靠近，割线绕着 $A$ 转动，最后贴住一条确定的直线，这就是 $A$ 处的切线（接線）。割线斜率趋向的值叫 $x=a$ 处的微分系数（微分係数），记作 $f'(a)$。它有两种读法：$x=a$ 那一瞬间的变化率，以及 $A$ 处切线的斜率。

「趋向」用极限表示。设 $b=a+h$，平均变化率是含 $h$ 的分式。因为 $h\ne0$，可以先约去 $h$，再看 $h$ 无限接近 $0$ 时式子接近哪个值（極限値）。一开始就代 $h=0$ 只会得到没有意义的 $\dfrac{0}{0}$。多项式约分后仍是多项式，这时令 $h=0$ 得到的就是极限值。

对每个 $x$ 都求出微分系数，就得到新的函数 $f'(x)$，叫导函数（導関数）。$(x^n)'=nx^{n-1}$ 的来由：$(x+h)^n$ 展开是 $x^n+nx^{n-1}h$ 再加含 $h^2$ 以上的项，减去 $x^n$、除以 $h$ 后剩下 $nx^{n-1}$ 和仍含 $h$ 的项，后者随 $h\to0$ 消失。常数不变化，导数是 $0$。

定量表达

定义见下面的公式块。导函数还写作 $y'$、$\dfrac{dy}{dx}$、$\dfrac{d}{dx}f(x)$；把增量 $h$ 写作 $\Delta x$、$y$ 的增量写作 $\Delta y$，就是 $f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$。求导函数叫「微分する」。

计算靠三条：$(x^n)'=nx^{n-1}$（$n$ 为自然数），常数的导数为 $0$，$\{kf(x)+lg(x)\}'=kf'(x)+lg'(x)$（极限对和与常数倍可以拆开）。积与乘方先展开；$(ax+b)^n$ 可直接用 $n(ax+b)^{n-1}\cdot a$，末尾的 $a$ 不能丢。

变量不叫 $x$ 也一样。面积 $S$ 是时间 $t$ 的函数时，$\dfrac{dS}{dt}$ 是 $S$ 对时间的变化率；高度 $h(t)$ 对 $t$ 的导数就是速度，详见「速度与加速度」。