导数的计算（积、商、合成、反函数）

为什么是这样

把 $u$、$v$ 想成长方形的两条边，面积是 $uv$。$x$ 增加 $\Delta x$，两边伸长 $\Delta u$、$\Delta v$，面积多出竖条 $\Delta u\cdot v$、横条 $u\cdot\Delta v$ 和角上的小块 $\Delta u\,\Delta v$。除以 $\Delta x$ 后前两块趋于 $u'v$、$uv'$，小块变成 $\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\cdot\Delta v\to0$。所以 $(uv)'=u'v+uv'$，而 $u'v'$ 量的只是被扔掉的那个角。

函数套函数，如 $y=(x^2+1)^5$：$x$ 动一点，$u=x^2+1$ 变化 $\dfrac{du}{dx}$ 倍，$u$ 每动一点，$y=u^5$ 又变化 $\dfrac{dy}{du}$ 倍。两级放大串联，总倍率相乘，像两组齿轮。只求外层，等于只算了第一组齿轮。

反函数的图像与原函数关于直线 $y=x$ 对称，对称时横纵对调，切线的「上升」与「前进」也对调，斜率变成倒数。注意对应的是对调后的点：原函数在 $(a,\,b)$ 处斜率为 4，反函数在 $(b,\,a)$ 处斜率是 $\dfrac14$。

求导的前提是可导：左右两侧的差商极限存在且相等，图像有确定的切线。可导一定连续，因为 $f(a+h)-f(a)$ 等于差商乘 $h$，趋于 $f'(a)\cdot0=0$。反过来不成立：$y=|x|$ 在原点连续，可右侧斜率是 1、左侧是 $-1$，图像折出一个角，不可导。

定量表达

下面的公式块是四条规则（$u$、$v$ 是 $x$ 的可导函数），另有线性 $(ku+lv)'=ku'+lv'$。三个因式时轮流只对一个求导再相加：$(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$。商的分子是「上导乘下，减上乘下导」，顺序不能换。

合成也写成 $\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\,g'(x)$，特例 $\{f(ax+b)\}'=af'(ax+b)$。反函数 $x=f(y)$ 用 $\dfrac{dx}{dy}$ 求出的是 $y$ 的式子，最后换回 $x$。

它们把幂函数公式一路推广。商给出负整数：$(x^{-m})'=-\dfrac{mx^{m-1}}{x^{2m}}=-mx^{-m-1}$。反函数给出 $y=x^{\frac1n}$：由 $x=y^n$ 得 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{ny^{n-1}}=\dfrac1nx^{\frac1n-1}$。再合成，对一切有理数 $p$ 有 $(x^p)'=px^{p-1}$；根号先写成指数。