速度与加速度

为什么是这样

数直线上运动的点，时刻 $t$ 的坐标是 $x=f(t)$。从 $t$ 到 $t+\Delta t$ 的平均速度是 $\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$，让 $\Delta t\to0$，得到那一刻的速度 $v$，就是 $f'(t)$。速度带符号：$v>0$ 向正方向走，$v<0$ 向负方向走，$v$ 变号的时刻点掉头。速度的大小 $|v|$ 叫速さ。

加速度 $\alpha$ 是速度的变化率。它的符号单独说明不了变快还是变慢：$v=-5$ 变成 $v=-6$ 时 $\alpha<0$，点却跑得更快了。判断快慢要把两者放在一起看，$v$ 与 $\alpha$ 同号时速さ增大，异号时速さ减小。

平面上运动时，把点 P 投影到两条坐标轴上，就得到两个在数直线上运动的点，它们的速度 $\dfrac{dx}{dt}$、$\dfrac{dy}{dt}$ 拼成速度向量。它的斜率 $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{dy}{dx}$ 正是轨迹的切线斜率，所以速度向量沿切线方向。加速度向量同样由两个分量的二阶导数拼成。

速さ不变，加速度不一定是 0。在圆周上匀速转动的点，速度的长度不变、方向一直在转，改变方向同样需要加速度。算出来它始终指向圆心，与速度垂直。所以加速度的大小不是速さ的导数。

定量表达

数直线上：$v=\dfrac{dx}{dt}=f'(t)$，$\alpha=\dfrac{d^2x}{dt^2}=f''(t)$，速さ $|v|$，加速度的大小 $|\alpha|$。平面上的式子见下面的公式块，大小都是两个分量平方和的平方根。

匀速圆周运动：$x=r\cos(\omega t+\beta)$，$y=r\sin(\omega t+\beta)$，$\omega$ 是角速度（单位时间转过的弧度）。求导得速さ $r|\omega|$，再求导得 $\vec\alpha=-\omega^2(x,\,y)$：大小 $r\omega^2$，指向圆心，与速度垂直。P 在 $x$ 轴上的投影做单振动，周期 $\dfrac{2\pi}{|\omega|}$。

随时间变化的任何量都一样，体积 $V$ 的变化率就是 $\dfrac{dV}{dt}$。几个量都随 $t$ 变、彼此有关系式时，把关系式两边对 $t$ 求导（合成函数的导数），就能用已知的变化率求出未知的。