切线与法线

接線と法線

19 微分法／接線

一句话结论

切线由「切点」和「那里的微分系数」决定： $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ 。切点不知道就设成 $(t,\,f(t))$ ，用题目条件解出 $t$ 。法线与切线垂直，斜率是 $-\dfrac{1}{f'(a)}$ 。代数上「相切」就是「重根」：曲线减去切线，含因式 $(x-t)^2$ 。

把曲线上一点附近放大、再放大，弯曲越来越看不出来，最后几乎就是一条直线。这条直线就是这一点的切线，它的斜率上一节已经会求了：微分系数。这一节把切线写成方程，再处理 EJU 最爱的变形：不告诉你切在哪里，只告诉你切线经过哪一点。

为什么是这样

切线经过切点 $A(a,\,f(a))$ ，斜率是 $f'(a)$ 。过一点、知道斜率，直线就确定了。法线（法線）是过切点、与切线垂直的直线；两条垂直直线斜率之积为 $-1$ ，所以 $f'(a)\ne0$ 时法线斜率是 $-\dfrac{1}{f'(a)}$ ； $f'(a)=0$ 时切线水平，法线是竖直线 $x=a$ 。

「在点 $A$ 的切线」和「经过点 $B$ 的切线」不是一回事。前者 $A$ 就是切点，切线只有一条。后者 $B$ 可能不在曲线上；就算在曲线上，切线也可能切在别处，而且不止一条。切点不知道时，就设切点为 $(t,\,f(t))$ ，写出这一点的切线，再让它满足题目条件，解出 $t$ 。

代数上，「相切」就是「重根」。直线 $y=mx+n$ 在 $x=t$ 处切多项式曲线，等价于 $f(x)-(mx+n)$ 在 $x=t$ 处值和导数都为 $0$ ，即含因式 $(x-t)^2$ 。三次曲线减去切线后还剩一个一次因式 $(x-s)$ ， $x=s$ 就是切线与曲线的另一个交点。抛物线与直线相切时判别式为 $0$ ，说的是同一件事。

定量表达

切线、法线的方程见公式块。切点未知时，切线写成 $y=f'(t)(x-t)+f(t)$ ，这是以 $t$ 为参数的一族直线；整理成 $y=(\cdots)x+(\cdots)$ 的形状，后面代点、比较系数都方便。

两条曲线 $y=f(x)$ 、 $y=g(x)$ 在 $x=p$ 处相切（接する），条件是 $f(p)=g(p)$ 且 $f'(p)=g'(p)$ 。公共切线（共通接線）则可以切在两条曲线的不同位置：分别设切点 $s$ 、 $t$ ，令两条切线的斜率相等、 $y$ 截距也相等，联立求解。

三次曲线上不同的切点给出不同的切线：一条直线若同时切在 $x=s$ 和 $x=t$ 两处，差式要被 $(x-s)^2(x-t)^2$ 整除，可它只是三次式。所以从一点向三次曲线引切线的条数，等于关于 $t$ 的方程的不同实数解的个数。

y-f(a)=f'(a)(x-a)\qquad y-f(a)=-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)

$f(x)$: 曲线 $y=f(x)$ 的函数
$a$: 切点的 $x$ 坐标
$f(a)$: 切点的 $y$ 坐标
$f'(a)$: $x=a$ 处的微分系数，即切线的斜率
$-\dfrac{1}{f'(a)}$: 法线的斜率（与切线斜率之积为 $-1$ ）

适用条件

左式是切线，右式是法线；两条都经过切点 $(a,\,f(a))$
法线的式子要求 $f'(a)\ne0$ ； $f'(a)=0$ 时切线是水平线 $y=f(a)$ ，法线是竖直线 $x=a$
切点未知时把 $a$ 换成字母 $t$ ，得到一族切线 $y=f'(t)(x-t)+f(t)$

怎么用

先判断切点知不知道。「点 $A$ における接線」：直接代公式。「傾きが $m$ の接線」：解 $f'(t)=m$ 求切点。「点 $B$ を通る接線」「点 $B$ から引いた接線」：设切点 $t$ ，把 $B$ 的坐标代入切线方程，得关于 $t$ 的方程。解出 $t$ 后要代回切线方程，答案是直线，不是 $t$ 。

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