各种函数的导数

いろいろな関数の導関数

19 微分法／三角関数・指数関数・対数関数の導関数

一句话结论

$(\sin x)'=\cos x$ ， $(\cos x)'=-\sin x$ ， $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$ ； $(e^x)'=e^x$ ， $(\log|x|)'=\dfrac1x$ 。其他底只差常数 $\log a$ 。EJU 里不写底的 $\log x$ 是自然对数。积、商、幂交织或 $x^x$ 型的函数，两边取对数再求导。

正弦、指数、对数是数学 III 最常见的三类函数，都不是多项式，可它们的导数出奇地简单：正弦求导变余弦，以 e 为底的指数函数求导还是它自己，对数求导变成倒数。这一节讲清这些结果从哪里来，尤其是为什么偏偏挑 2.718 这个怪数做底。

为什么是这样

沿 $y=\sin x$ 记下每点的切线斜率： $x=0$ 处斜率 1（这就是 $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ ），波峰 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处 0， $x=\pi$ 处 $-1$ 。把斜率连起来正好是 $y=\cos x$ 。这要求弧度，用度数时原点处斜率是 $\dfrac{\pi}{180}$ 。

$y=a^x$ 的斜率与高度成正比： $\dfrac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\cdot\dfrac{a^h-1}{h}$ ，比例系数是 $x=0$ 处的斜率。 $a=2$ 时它约 0.69， $a=3$ 时约 1.10，中间有一个底使它恰为 1，记作 $e=2.71828\cdots$ 。以 $e$ 为底，斜率等于高度： $(e^x)'=e^x$ 。

对数函数是指数函数的反函数。 $y=\log x$ 即 $x=e^y$ ， $\dfrac{dx}{dy}=e^y=x$ ，所以 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1x$ 。日本高中和 EJU 在微积分里一律把自然对数写成不带底的 $\log x$ ，相当于中国教材的 $\ln x$ 。

定量表达

$(\tan x)'$ 由商得到： $\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac{1}{\cos^2x}$ 。 $e$ 的定义 $e=\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac1h}$ 等价于 $\lim_{h\to0}\dfrac{\log(1+h)}{h}=1$ ，即 $y=\log x$ 在 $x=1$ 处斜率为 1。其他底用 $a^x=e^{x\log a}$ 换过来。

$x<0$ 时 $\{\log(-x)\}'=\dfrac{-1}{-x}=\dfrac1x$ ，所以 $(\log|x|)'=\dfrac1x$ 。对任意实数 $\alpha$ 有 $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ （ $x>0$ ）： $\log y=\alpha\log x$ 两边求导， $\dfrac{y'}{y}=\dfrac{\alpha}{x}$ 。

这一招叫对数微分法：两边取绝对值的对数，积变和、商变差、指数变系数，再对 $x$ 求导，左边是 $\dfrac{y'}{y}$ 。底和指数都含 $x$ 的 $y=x^x$ 只能这样做： $\log y=x\log x$ ， $\dfrac{y'}{y}=\log x+1$ ， $y'=x^x(\log x+1)$ 。

\begin{aligned}(\sin x)'&=\cos x &\quad (\cos x)'&=-\sin x &\quad (\tan x)'&=\dfrac{1}{\cos^2x}\\(e^x)'&=e^x &\quad (a^x)'&=a^x\log a\\(\log|x|)'&=\dfrac1x &\quad (\log_a|x|)'&=\dfrac{1}{x\log a}\end{aligned}

$x$: 自变量；三角函数里是弧度
$e$: 自然对数的底， $e=\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac1h}=2.71828\cdots$
$\log$: 不写底的 $\log$ 是以 $e$ 为底的自然对数（中国教材写 $\ln$ ）
$a$: 指数、对数的底， $a>0$ ， $a\ne1$

适用条件

三角函数的公式只在弧度制下成立
$(\log x)'=\dfrac1x$ 要求 $x>0$ ；带绝对值的形式对 $x\ne0$ 都成立
与合成连用： $\{\log|f(x)|\}'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ ， $\{e^{f(x)}\}'=f'(x)e^{f(x)}$

怎么用

先认出最外层： $\sin(3x-1)$ 得 $3\cos(3x-1)$ ， $e^{-x^2}$ 得 $-2xe^{-x^2}$ ， $\log(x^2+4)$ 得 $\dfrac{2x}{x^2+4}$ 。三角函数的结果用 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 化成答题卡的形式；对数里的积商先拆开再求。

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