高阶导数

第n次導関数

19 微分法／第n次導関数

一句话结论

对 $f'(x)$ 再求导得 $f''(x)$ ，反复 $n$ 次得 $f^{(n)}(x)$ 。参数表示的曲线 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ ；方程给出的曲线两边对 $x$ 求导，含 $y$ 的项多乘 $y'$ 。第 2 次导数都要对 $x$ 求，不能只对 $t$ 求。

导函数本身也是函数，当然可以再求导。位置求一次导是速度，再求一次是加速度；曲线求一次导是切线斜率，再求一次告诉你斜率在变大还是变小，也就是曲线往哪边弯。另一方面，不是所有曲线都写成「y 等于 x 的式子」：圆和椭圆写成方程，摆线用参数表示。这一节先讲反复求导，再讲这两类曲线怎样求导。

为什么是这样

第 2 次导函数 $f''(x)$ 衡量斜率变化的快慢： $f''(x)>0$ 的地方斜率在增大，曲线下に凸（像碗）； $f''(x)<0$ 的地方曲线上に凸。一直求下去常出现规律： $\sin x$ 每求一次导，图像向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$ ，四次一循环； $e^{ax}$ 每次多乘一个 $a$ ； $x^n$ 每次降一次， $n$ 次后只剩 $n!$ 。

参数表示的曲线，把 $t$ 想成时间：点横向的速度是 $\dfrac{dx}{dt}$ ，纵向的速度是 $\dfrac{dy}{dt}$ ，切线斜率就是纵向速度与横向速度之比。这不需要先消去 $t$ ，摆线这类曲线根本消不掉。

方程 $F(x,\,y)=0$ 给出的曲线，在一小段上 $y$ 仍是 $x$ 的函数，只是没解出来。两边对 $x$ 求导时，含 $y$ 的项按合成函数处理： $y$ 是里层，要多乘一个 $y'$ 。这样不用解出 $y$ ，也不用为根号的 $\pm$ 分情况。

定量表达

第 2 次导函数记作 $y''$ 、 $f''(x)$ 、 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ ，第 3 次记作 $y'''$ 、 $f'''(x)$ 、 $\dfrac{d^3y}{dx^3}$ ，第 $n$ 次记作 $y^{(n)}$ 、 $f^{(n)}(x)$ 、 $\dfrac{d^ny}{dx^n}$ 。常用的几个第 $n$ 次导函数列在公式一览里。

参数表示 $x=f(t)$ ， $y=g(t)$ ：由合成与反函数的法则得下面的公式块。第 2 次导函数要把 $\dfrac{dy}{dx}$ （ $t$ 的式子）再对 $x$ 求导，也就是对 $t$ 求导后乘 $\dfrac{dt}{dx}$ 。

隐函数：用 $\dfrac{d}{dx}f(y)=f'(y)\dfrac{dy}{dx}$ ，如 $\dfrac{d}{dx}y^2=2yy'$ 。圆 $x^2+y^2=25$ 两边求导得 $2x+2yy'=0$ ， $y\ne0$ 时 $y'=-\dfrac xy$ ，结果里同时有 $x$ 和 $y$ 是正常的。再求一次导、把 $y'$ 代回并用原方程化简： $y''=-\dfrac{y-xy'}{y^2}=-\dfrac{x^2+y^2}{y^3}=-\dfrac{25}{y^3}$ 。

\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{g'(t)}{f'(t)}\\\dfrac{d^2y}{dx^2}&=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}\end{aligned}

$t$: 参数（媒介変数）
$x=f(t),\ y=g(t)$: 曲线的参数表示
$f'(t),\ g'(t)$: $x$ 、 $y$ 对 $t$ 的导数，即 $\dfrac{dx}{dt}$ 、 $\dfrac{dy}{dt}$
$\dfrac{dy}{dx}$: 切线斜率，结果是 $t$ 的式子
$\dfrac{d^2y}{dx^2}$: 第 2 次导函数

适用条件

要求 $f'(t)\ne0$ ； $f'(t)=0$ 、 $g'(t)\ne0$ 的点切线竖直
第 2 次导函数是把 $\dfrac{dy}{dx}$ 对 $t$ 求导后再除以 $\dfrac{dx}{dt}$ ，不是 $\dfrac{d^2y}{dt^2}\div\dfrac{d^2x}{dt^2}$

怎么用

求第 2 次导函数前先把 $f'(x)$ 化简（提公因式、约分），计算量少很多。给出含 $y$ 、 $y'$ 、 $y''$ 的等式求常数（如 $y''+ay'+by=0$ 对一切 $x$ 成立），就算出它们代入，按 $\sin$ 、 $\cos$ 或 $x$ 的各次项比较系数。求 $f^{(n)}(x)$ 先算 $n=1,2,3$ 找规律，严格说要用数学归纳法证明；EJU 是填空，把规律对准前几项再填。

登录后免费阅读全文

本节还有 7 部分，以及配套的真题和小测验。

免费注册登录

本节公式一览
例题
容易错在哪里
自测
小结
日文术语