函数的图像（凹凸、拐点、渐近线）

为什么是这样

升降仍由 $f'(x)$ 的符号决定（见「增减与极值」）。数学 III 的函数多了三处要留心：定义域可能有缺口（分母为 0、根号里为负、真数不为正）；有的点不可微，如 $y=|x|$ 在 $x=0$；两端会跑向无穷远。所以增减表的分界点除了 $f'(x)=0$ 的点，还要放进 $f'(x)$ 不存在的点和定义域断开处。$f'(a)=0$ 只是极值的必要条件：$y=x^3$ 在 $x=0$ 处导数为 0，前后却都在增加；反过来 $y=|x|$ 在 $x=0$ 不可微，却取极小值。

弯曲的方向看切线斜率怎么变。从左往右沿曲线走，斜率一路变大，曲线向上弯，像碗口朝上，日文叫下に凸；斜率一路变小，像山峰，叫上に凸。斜率 $f'(x)$ 变大，就是它的导数 $f''(x)$ 为正。所以 $f''(x)>0$ 的区间下に凸，$f''(x)<0$ 的区间上に凸。下に凸时，曲线在每条切线的上方。

凹凸改变的点叫拐点（変曲点），切线在这里从曲线的一侧穿到另一侧。凹凸要改变，$f''(x)$ 必须在前后变号，所以 $f''(a)=0$ 只是必要条件：$y=x^4$ 有 $f''(0)=0$，两侧却都是 $f''>0$，整条曲线下に凸，原点不是拐点。

曲线无限延伸时越来越贴近的直线叫渐近线，有三种：$x\to b$ 时 $y\to\pm\infty$，竖直线 $x=b$ 是渐近线，它只出现在定义域的缺口处；$x\to\pm\infty$ 时 $y$ 趋于定值 $a$，水平线 $y=a$ 是渐近线；$y$ 与某条直线 $y=px+q$ 之差趋于 0，那条斜线是渐近线。曲线可以穿过自己的渐近线，渐近只管无穷远处。

定量表达

凹凸和二阶导数判定极值写在下面的公式块里。第二行的道理：$f'(a)=0$ 且 $f''(a)<0$ 时，$f'(x)$ 在 $a$ 附近单调减少，只能从正变到负，所以 $f(a)$ 是极大值；$f''(a)>0$ 时反过来。$f''(a)=0$ 时判定失效：$x^4$（极小）、$-x^4$（极大）、$x^3$（都不是）都满足 $f'(0)=f''(0)=0$。

斜渐近线 $y=px+q$ 用两次极限求：$p=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}$，$q=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-px\}$，$x\to-\infty$ 一侧另算。