教材 · 数学 Course 2 · 数列与微积分 · 微分法
各种曲线的切线 いろいろな曲線の接線
19 微分法 ／ 接線
一句话结论 切线仍是 y − y 1 = m ( x − x 1 ) y-y_1=m(x-x_1) y − y 1 = m ( x − x 1 ) y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) m = f ′ ( x 1 ) m=f'(x_1) m = f ′ ( x 1 ) x x x m = d y / d t d x / d t m=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} m = d x / d t d y / d t 多出三件要查的事：切点在定义域内且可导；分母为 0 的点有竖直切线 x = x 1 x=x_1 x = x 1 f ′ ′ f'' f ′′
切线只要两样东西：切点和那里的斜率。换成对数、根号、三角函数的曲线，换成椭圆、参数曲线，公式都不用改，改的只是斜率怎么求。新麻烦在别处：切点得落在定义域里，切点方程不能因式分解，一条直线还可能切在好几处。
为什么是这样 推导 y − f ( a ) = f ′ ( a ) ( x − a ) y-f(a)=f'(a)(x-a) y − f ( a ) = f ′ ( a ) ( x − a ) f f f y = log x y=\log x y = log x y = x y=\sqrt x y = x y = log x y=\log x y = log x t > 0 t>0 t > 0 y = x y=\sqrt x y = x t > 0 t>0 t > 0 x = 0 x=0 x = 0 y y y
方程 F ( x , y ) = 0 F(x,\,y)=0 F ( x , y ) = 0 f f f ( x 1 , y 1 ) (x_1,\,y_1) ( x 1 , y 1 ) m m m m m m d y / d t d x / d t \dfrac{dy/dt}{dx/dt} d x / d t d y / d t x = x 1 x=x_1 x = x 1
多项式时切点不同、切线就不同，一般曲线却不一定：y = sin x y=\sin x y = sin x x = π 2 x=\dfrac{\pi}{2} x = 2 π x = 5 π 2 x=\dfrac{5\pi}{2} x = 2 5 π y = 1 y=1 y = 1 f ′ ′ ( x ) f''(x) f ′′ ( x ) f ′ f' f ′
数学 III 的曲线求切线多出的三件事：分母为 0 处有竖直切线；一条直线可以切在好几处；解出的切点必须在这条曲线上 竖直切线 x=±a x y O x=2 x=−2 x²/4+y²=1 两个切点，一条切线 x y O π/2 5π/2 y=1 y=sin x 切点要在曲线上 x y O Q u=2 u=−1：切在 y=−√x y=√x 左：斜率 −b²x₁/(a²y₁) 在 y₁=0 处算不出，可那里有切线，是竖直线 x=±2。 中：y=sin x 在 π/2、5π/2 处的切线都是 y=1，切点方程两个解，切线只有一条。 右：从 Q 向 y=√x 引切线，令 u=√t 得两个解；u=−1 的那条切的是虚线 y=−√x，要舍去。 定量表达 以椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 x x x 2 x a 2 + 2 y y ′ b 2 = 0 \dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2yy'}{b^2}=0 a 2 2 x + b 2 2 y y ′ = 0 y 1 ≠ 0 y_1\ne0 y 1 = 0 m = − b 2 x 1 a 2 y 1 m=-\dfrac{b^2x_1}{a^2y_1} m = − a 2 y 1 b 2 x 1 y 1 b 2 \dfrac{y_1}{b^2} b 2 y 1 x 1 x a 2 + y 1 y b 2 = 1 \dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1 a 2 x 1 x + b 2 y 1 y = 1 x 2 x^2 x 2 x 1 x x_1x x 1 x
参数表示 x = f ( t ) x=f(t) x = f ( t ) y = g ( t ) y=g(t) y = g ( t ) t = t 1 t=t_1 t = t 1 ( f ( t 1 ) , g ( t 1 ) ) (f(t_1),\,g(t_1)) ( f ( t 1 ) , g ( t 1 )) g ′ ( t 1 ) f ′ ( t 1 ) \dfrac{g'(t_1)}{f'(t_1)} f ′ ( t 1 ) g ′ ( t 1 )
两曲线相切、公共切线的条件与「切线与法线」相同，只是方程含 log t \log t log t e t e^t e t t \sqrt t t t t t log t = 2 \log t=2 log t = 2 y = k x y=kx y = k x y = log x y=\log x y = log x k = 1 e k=\dfrac1e k = e 1 k k k
直线 y=kx 与曲线 y=log x：k 从小到大，公共点由 2 个变为相切的 1 个，再变为没有；相切的 k=1/e 就是分界 x y O e 切点 (e, 1) y=log x k<1/e：2 个公共点 k=1/e：相切，1 个 k>1/e：没有公共点 相切的条件： log t = kt（值相等） 1/t = k（导数相等） → log t=1，t=e，k=1/e 过原点的直线 y=kx 转动时，与 y=log x 的公共点个数只在相切的那一刻改变。 所以「公共点有几个」的分界，用「值相等、导数相等」两式求出相切时的 k。 怎么用 从曲线外一点引切线：设切点 ( t , f ( t ) ) (t,\,f(t)) ( t , f ( t )) t t t e − t e^{-t} e − t u = t u=\sqrt t u = t u > 0 u>0 u > 0 a a a
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