增减与极值

为什么是这样

在一个区间里处处 $f'(x)>0$，每一点附近曲线都向右上方走，连起来整段都在上升：$f(x)$ 在这个区间单调增加（単調に増加）。$f'(x)<0$ 则单调减少；处处 $f'(x)=0$ 时 $f(x)$ 是常数。

从增加转为减少的点是山顶，这里的函数值叫极大值（極大値）；从减少转为增加的点是谷底，叫极小值（極小値），合称极值。「极」只和附近比：极大值不一定是整个定义域上的最大值。

山顶和谷底处切线水平，所以极值点一定满足 $f'(a)=0$。反过来不对：$f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处 $f'(0)=0$，但左右两边 $f'(x)=3x^2$ 都是正的，函数一直在上升，只是在原点歇了一下脚。所以判断极值要看 $f'(x)$ 在这一点前后是否变号。

三次函数的导函数是二次函数，图像是抛物线。抛物线穿过 $x$ 轴两次，$f'$ 变号两次，$f$ 有极大和极小；只碰到 $x$ 轴（$D=0$）或碰不到（$D<0$）时 $f'$ 不变号，$f$ 单调，没有极值。

定量表达

增减表（増減表）把这些写成一张表：第一行在 $x$ 下写 $f'(x)=0$ 的解，把数轴分成几段；第二行写各段 $f'(x)$ 的符号；第三行用 ↗、↘ 表示增减，在分界处写极值。符号由因式分解后的形式和最高次项系数决定，不必逐段代值。

三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 有极值，当且仅当 $f'(x)=0$ 有两个不同实数解，即 $b^2-3ac>0$。两个极值点 $\alpha$、$\beta$ 满足解与系数的关系，可以不解方程就算出与极值有关的量。

三次函数的图像关于曲线上横坐标为 $-\dfrac{b}{3a}$ 的点中心对称（把这一点平移到原点，式子只剩奇次项）；有极值时，$-\dfrac{b}{3a}$ 正是 $\alpha$、$\beta$ 的平均，这一点就是两个极值点连线的中点。四次函数的导函数是三次式，同样列增减表，可能有三个极值，也可能只有一个。