近似式

为什么是这样

微分系数的定义说，$h\to0$ 时 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 趋于 $f'(a)$。反过来读：$|h|$ 很小时这个比已经很接近 $f'(a)$，两边乘 $h$，函数值的变化 $f(a+h)-f(a)$ 约等于 $f'(a)h$。几何上，$f(a)+f'(a)h$ 是点 $(a,\,f(a))$ 处的切线在 $x=a+h$ 处的高度，近似式就是用切线代替曲线。

误差有多大？切线与曲线之间的缝隙，随 $h$ 变小比 $h$ 本身缩得快得多，大约与 $h^2$ 成比例，曲线弯得越厉害（$|f''(a)|$ 越大）缝隙越大。$h$ 缩小到十分之一，误差约缩小到百分之一。所以「$|h|$ 十分小」是条件，不是装饰：$h$ 一大，切线就离曲线很远。

三角函数的导数 $(\sin x)'=\cos x$ 是在弧度制下得出的，所以近似式里的角也必须用弧度。$1^\circ$ 不是 $1$，而是 $\dfrac{\pi}{180}$，约 $0.0175$。

定量表达

取 $a=0$、把 $h$ 写成 $x$，得 $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$，这是最常用的形式。代入具体函数得到一组常用近似式（全部列在本节公式一览）：$(1+x)^p\approx1+px$，$\sin x\approx x$，$\cos x\approx1$，$e^x\approx1+x$，$\log(1+x)\approx x$ 等，每一条都是那个函数在 $x=0$ 处的切线。

把 $h$ 记作 $\Delta x$，函数值的变化记作 $\Delta y$，近似式写成 $\Delta y\approx y'\Delta x$：自变量变一点点，函数值约变化「导数×自变量的变化」。两边除以 $y$ 得到相对变化，$y=x^n$ 时 $\dfrac{\Delta y}{y}\approx n\dfrac{\Delta x}{x}$：半径增加 $1\%$，圆面积约增加 $2\%$，球的体积约增加 $3\%$。