教材 · 数学 Course 2 · 数列与微积分 · 积分法
不定积分与定积分（多项式） 不定積分と定積分
20 積分法 ／ 積分とその基本的な性質
一句话结论 不定积分是微分的逆运算，答案带积分常数 C C C ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) C C C 多项式逐项用「次数加 1、除以新次数」；乘积先展开。∫ α β ( x − α ) ( x − β ) d x = − 1 6 ( β − α ) 3 \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac16(\beta-\alpha)^3 ∫ α β ( x − α ) ( x − β ) d x = − 6 1 ( β − α ) 3 x x x x x x
微分是由函数求每一点的斜率。积分把这件事倒过来：已知每一点的斜率 f ( x ) f(x) f ( x )
为什么是这样 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) G ( x ) G(x) G ( x ) { G ( x ) − F ( x ) } ′ = 0 \{G(x)-F(x)\}'=0 { G ( x ) − F ( x ) } ′ = 0 0 0 0 G ( x ) = F ( x ) + C G(x)=F(x)+C G ( x ) = F ( x ) + C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\,dx=F(x)+C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C x x x C C C
由 ( x n + 1 ) ′ = ( n + 1 ) x n (x^{n+1})'=(n+1)x^n ( x n + 1 ) ′ = ( n + 1 ) x n ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C ∫ x n d x = n + 1 x n + 1 + C
定积分定义为 ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) F ( x ) + C F(x)+C F ( x ) + C C C C C C C ∫ 0 2 t 2 d t = ∫ 0 2 x 2 d x \int_0^2t^2\,dt=\int_0^2x^2\,dx ∫ 0 2 t 2 d t = ∫ 0 2 x 2 d x
f(x)＝x²−1 的原函数 y＝x³/3−x＋C：上下平移的一族曲线，同一个 x 处切线平行 x y O x＝1.5 C＝−1 C＝0 C＝1 C＝2 (0, 1) F′(x)＝x²−1 满足它的曲线 有无数条 橙色短线： 同一 x 处斜率相同 过 (0, 1) 的 只有 C＝1 一条 初期条件 定出积分常数 定量表达 定积分的性质都从 F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F ( b ) − F ( a ) ∫ a a f ( x ) d x = 0 \int_a^af(x)\,dx=0 ∫ a a f ( x ) d x = 0 ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x \int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x c c c a a a b b b
把 ( x − α ) ( x − β ) (x-\alpha)(x-\beta) ( x − α ) ( x − β ) ( x − α ) 2 − ( β − α ) ( x − α ) (x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha) ( x − α ) 2 − ( β − α ) ( x − α ) ∫ α β ( x − α ) 2 d x = ( β − α ) 3 3 \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2\,dx=\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{3} ∫ α β ( x − α ) 2 d x = 3 ( β − α ) 3 ∫ α β ( x − α ) d x = ( β − α ) 2 2 \int_\alpha^\beta(x-\alpha)\,dx=\dfrac{(\beta-\alpha)^2}{2} ∫ α β ( x − α ) d x = 2 ( β − α ) 2 ∫ ( x + p ) n d x = ( x + p ) n + 1 n + 1 + C \int(x+p)^n\,dx=\dfrac{(x+p)^{n+1}}{n+1}+C ∫ ( x + p ) n d x = n + 1 ( x + p ) n + 1 + C
区间关于 0 0 0 ∫ − a a \int_{-a}^a ∫ − a a 0 0 0 2 ∫ 0 a 2\int_0^a 2 ∫ 0 a
怎么用 由导函数定函数：f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x f(x)=\int f'(x)\,dx f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x C C C C C C y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) ( x , y ) (x,\,y) ( x , y ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
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本节还有 7 部分，以及配套的真题和小测验。