不定积分的基本性质

为什么是这样

不定积分的定义和数学 II 相同：$F'(x)=f(x)$ 时 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$。性质 $\int\{kf(x)+lg(x)\}\,dx=k\int f(x)\,dx+l\int g(x)\,dx$ 也一样，因为 $\{kF(x)+lG(x)\}'=kf(x)+lg(x)$。所以和、差、常数倍都可以拆开。

公式全部来自导数。$(x^{\alpha+1})'=(\alpha+1)x^\alpha$，$\alpha\ne-1$ 时除以 $\alpha+1$ 就得幂的公式，$\alpha$ 是分数、负数都行。$\alpha=-1$ 时这条路走不通，另有 $(\log|x|)'=\dfrac1x$：$x>0$ 时显然；$x<0$ 时 $\log|x|=\log(-x)$，求导得 $\dfrac{-1}{-x}=\dfrac1x$。图里 $y=\log|x|$ 左右两支，每一点的切线斜率都等于 $\dfrac1x$，绝对值就是为了让 $x<0$ 的一支也算上。

$(\cos x)'=-\sin x$，所以 $\sin x$ 的原函数是 $-\cos x$，符号最容易错。$(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$、$\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}$、$(a^x)'=a^x\log a$ 倒过来，就是表里其余几条。

定量表达

微分有积、商的公式，积分没有。$\int f(x)g(x)\,dx$ 不等于 $\int f\,dx\cdot\int g\,dx$，商也一样。也不是每个函数的原函数都能用已学的函数写出来。所以积分的第一步是变形，把被积函数化成表里各项的和。

常用的变形有三种。① 根式写成分数指数：$\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac23}$，$\dfrac{1}{\sqrt x}=x^{-\frac12}$。② 分子分母是单项的分式拆开：$\dfrac{(\sqrt x+1)^2}{x}=1+2x^{-\frac12}+\dfrac1x$。③ 三角函数用相互关系：$\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}-1$，$\dfrac{1}{\tan^2x}=\dfrac{1}{\sin^2x}-1$，于是 $\int\tan^2x\,dx=\tan x-x+C$。