定积分及其置换、分部

为什么是这样

$\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ 只用原函数在两端的差，积分常数相减抵消，积分变量叫 $x$ 还是 $t$ 也不影响结果。$f(x)\ge0$ 时它是曲线下方的面积，这给了验算办法：$y=\sqrt{4-x^2}$ 是半圆，积出来应是扇形加三角形（图左）。

换元能直接换区间，是因为令 $x=g(t)$ 后，$f(g(t))g'(t)$ 的原函数正是 $F(g(t))$。$x$ 从 $a$ 走到 $b$ 时 $t$ 从 $\alpha$ 走到 $\beta$，在 $t$ 的两端相减，得到的就是 $F(b)-F(a)$。

奇函数关于原点对称，$[-a,0]$ 与 $[0,a]$ 上的面积一正一负，合起来为 $0$；偶函数两半相等，总和是一半的 $2$ 倍（图右）。积的奇偶像符号相乘：奇×奇＝偶，奇×偶＝奇。

定量表达

二次根式和 $x^2+a^2$ 有固定换法。$\sqrt{a^2-x^2}$ 令 $x=a\sin\theta$，根号变成 $a\cos\theta$；$\dfrac{1}{x^2+a^2}$ 令 $x=a\tan\theta$，由 $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$，被积函数约成常数 $\dfrac1a$。$\theta$ 取在 $-\dfrac{\pi}{2}$ 到 $\dfrac{\pi}{2}$ 之间，$\cos\theta>0$，根号可直接去掉。分母是 $x^2+px+q$ 时：判别式小于 $0$ 先配方再用 $\tan$；大于 $0$ 分解后拆部分分式；等于 $0$ 是 $(x-p)^{-2}$ 型。

分部积分 $\int_a^bf(x)g'(x)\,dx=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int_a^bf'(x)g(x)\,dx$，前一项当场代入上下限，式子马上变短。被积函数带绝对值，先找绝对值里等于 $0$ 的点，在那里切开区间，每段去掉绝对值再积。