最大最小与方程、不等式

最大・最小と方程式・不等式

19 微分法／関数の最大と最小

一句话结论

最大最小：把区间内的极值和两端的值放在一起比。实数解的个数：把参数分离成 $f(x)=a$ ，数曲线与水平线 $y=a$ 的交点。不等式：证差 $F(x)$ 的最小值为正。极大值不一定是最大值；参数的分界值就是极值。

极值只是「附近最高」。要找真正的最大值，得把所有竞争者放在一起比：山顶、谷底，还有区间的两端。这一节用同一张增减表做三件事：求区间上的最大最小，数方程有几个实数解，证明不等式。三件事其实是一件：看清整条曲线在哪里高、在哪里低。

为什么是这样

闭区间 $a\le x\le b$ 上，最大值只可能出现在两类点：区间内部的山顶（极大点），或区间的端点（曲线一路上升，在端点被截断）。最小值同理。所以求最值就是把极值和端点的值列出来比较。区间不含端点时，端点的值取不到，最大值或最小值可能不存在。

方程 $f(x)=0$ 的实数解，是曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴交点的 $x$ 坐标。含参数 $a$ 时，先整理成 $f(x)=a$ ：左边是不动的曲线，右边是随 $a$ 上下平移的水平线，数交点就是数解。交点个数只在水平线经过极大值或极小值的高度时变化，所以分界值就是极值。

要证 $f(x)>g(x)$ ，就证差 $F(x)=f(x)-g(x)$ 在这个范围里总是正的，也就是 $F(x)$ 的最小值是正的。这又回到了求最小值。

三次方程 $f(x)=0$ （ $x^3$ 系数为正）有三个不同实数解，等价于曲线左低右高地穿过 $x$ 轴三次： $f(x)$ 有极值，且极大值 $>0$ 、极小值 $<0$ ，两条合写成（极大值） $\times$ （极小值） $<0$ 。

曲线连续时，若 $f(p)$ 与 $f(q)$ 异号，曲线从 $x$ 轴一侧走到另一侧必穿过 $x$ 轴， $p<x<q$ 中至少有一个解（中間値の定理）； $f$ 在这段上单调时恰好一个。反过来不对：两个解都落在区间里时， $f(p)$ 、 $f(q)$ 同号。

问正解、负解各几个，看交点落在 $y$ 轴哪一侧：水平线高度跨过 $f(0)$ 时，有一个交点从一侧换到另一侧，所以 $f(0)$ 也是分界值。

f(x)=a\ \text{的实数解个数}=\text{曲线}\ y=f(x)\ \text{与直线}\ y=a\ \text{的公共点个数}

适用条件

证不等式时

F'(x)

的正负一眼看不出，就再求

F''(x)

：若

x>a

时

F''(x)>0

，则

F'(x)

增加，加上

F'(a)\ge0

得

F'(x)>0

，再加上

F(a)\ge0

得

F(x)>0

。

最大最小题：增减表只画在给定区间里，表的两端写端点的值，然后比较，并写出取到最值的 $x$ 。参数在函数里时，极值点随参数移动，按极值点在不在区间里分情况；区间随参数移动时（如 $t\le x\le t+1$ ），还要看「和极大值同样高的另一点」有没有进入区间。

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