无穷级数

为什么是这样

把 $a_1+a_2+a_3+\cdots$ 叫无穷级数，记作 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$。无限次加法没法真的做完，所以只算前 $n$ 项的和 $S_n$（部分和），看数列 $\{S_n\}$ 的去向：$S_n\to S$ 时说级数收敛、和为 $S$；$\{S_n\}$ 发散时说级数发散。整节只有这一条定义，其余都是它的推论。

左图：边长 $1$ 的正方形先切走一半，再切走剩下的一半……$\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\cdots$ 的部分和始终填不满正方形，但离 $1$ 越来越近，和为 $1$。如果级数收敛，$a_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0$；反过来说，项不趋于 $0$ 的级数一定发散。

但项趋于 $0$ 还不够。右图把 $1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots$ 分组：$\dfrac13+\dfrac14\ge\dfrac12$，$\dfrac15+\cdots+\dfrac18\ge\dfrac12$……每组都至少 $\dfrac12$，组有无数个，部分和无限增大。项在变小，却变小得不够快。

定量表达

最常用的级数是无穷等比级数。$r\ne1$ 时 $S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$，由上一节 $r^n$ 的极限，$|r|<1$ 时 $S_n\to\dfrac{a}{1-r}$，$|r|>1$ 或 $r=-1$ 时发散；$r=1$ 时 $S_n=na$ 也发散。收敛的两个级数可以线性组合：$\sum(ka_n+lb_n)=kS+lT$，所以两个等比级数之和可以分别求和再相加。

不是等比的级数，就先求出 $S_n$。项是分式的积时裂项，如 $\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac12\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)$，部分和中间成对抵消，只剩头尾：$S_n=\dfrac12\left(1-\dfrac{1}{2n+1}\right)\to\dfrac12$。项是 $n\times r^{n-1}$ 的形状时，用 $S_n-rS_n$ 错位相减。