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教材 · 数学 Course 2 · 数列与微积分 · 极限

数列的极限

数列の極限

18 極限 ／ 数列の極限
一句话结论

n→∞n\to\infty 时只看主导项：多项式看最高次，指数看最大的底，根式之差先有理化。∞−∞、∞/∞、0×∞ 这类不定型不能凭形状下结论，要先变形；求不出的极限用夹逼。{rn}\{r^n\} 收敛当且仅当 −1<r≤1-1<r\le1。

把 11、12\dfrac12、13\dfrac13、…一项项写下去，项越来越靠近 00，却永远不等于 00。「无限地靠近」不能靠把项算完来确认，极限就是给它一个准确的说法。EJU Course 2 的极限题几乎都在问同一件事：nn 很大时，式子里哪一项说了算。看清这一点，多数题只需要一次变形。

为什么是这样

项数无限的数列叫无穷数列。nn 无限增大时 ana_n 无限接近一个定值 α\alpha，就说 {an}\{a_n\} 收敛于 α\alpha，记作 lim⁡n→∞an=α\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha，α\alpha 叫极限值。不收敛就是发散，分三种：趋于正无穷大（lim⁡an=∞\lim a_n=\infty）、趋于负无穷大，以及两者都不是的振动，如 (−1)n(-1)^n。∞\infty 不是数，lim⁡an=∞\lim a_n=\infty 时不说「极限值是 ∞\infty」。

nn 很大时 n3n^3 把 n2n^2 远远甩开，4n4^n 把 3n3^n 远远甩开。所以 n3−n2→∞n^3-n^2\to\infty，不是「∞−∞＝0」；n2n3→0\dfrac{n^2}{n^3}\to0，也不是「∞/∞＝1」。这类只看形状定不下来的叫不定型，要比的是谁增长得快。办法都一样：把主导项提出来，或让分子分母同除以它，其余各项就都变成趋于 00 的形状。

有些数列算不出准确值，只能估计大小。若从某项起 an≤cn≤bna_n\le c_n\le b_n，且两边都趋于 α\alpha，夹在中间的 cnc_n 也趋于 α\alpha，这叫夹逼原理。注意不等号在取极限后会变松：1n<2n\dfrac1n<\dfrac2n，极限却都是 00，所以 an<bna_n<b_n 只能推出 α≤β\alpha\le\beta。下面的数列趋于 ∞\infty 时，上面的也被推向 ∞\infty。

无穷等比数列 rⁿ 的六种情况：n＝1 到 8 的各项r＞1（r＝1.25）1−10越出图外发散到 ∞r＝11−10恒为 1，收敛于 10＜r＜1（r＝0.7）1−10收敛于 0−1＜r＜0（r＝−0.7）1−10正负交替，收敛于 0r＝−11−101 与 −1 交替：振动r＜−1（r＝−1.25）1−10越出图外越摆越大：振动收敛的只有 −1＜r≤1：左端 r＝−1 不收敛，右端 r＝1 收敛。

定量表达

两个数列都收敛时，和、差、常数倍、积、商都可以分开取极限（见公式一览）。已知 lim⁡(2n+1)an=4\lim(2n+1)a_n=4 求 lim⁡nan\lim na_n：写成 (2n+1)an⋅n2n+1(2n+1)a_n\cdot\dfrac{n}{2n+1}，两个因子都收敛，极限是 4⋅12=24\cdot\dfrac12=2。

等比数列 {rn}\{r^n\} 的去向只取决于 rr，分界在 r=±1r=\pm1（下面的公式块和图）。含 rnr^n 的分式，分子分母同除以底最大的那一项，如 3n+2n3n=1+(23)n→1\dfrac{3^n+2^n}{3^n}=1+\left(\dfrac23\right)^n\to1；底里有字母时按 ∣r∣<1|r|<1、r=1r=1、r>1r>1、r≤−1r\le-1 分情况。

lim⁡n→∞rn={∞(r>1)1(r=1)0(−1<r<1)振动，没有极限(r≤−1)\lim_{n\to\infty}r^n=\begin{cases}\infty & (r>1)\\ 1 & (r=1)\\ 0 & (-1<r<1)\\ \text{振动，没有极限} & (r\le-1)\end{cases}
rr
无穷等比数列 {rn}\{r^n\} 的公比（实数）
nn
项的编号，n=1,2,3,…n=1,2,3,\dots，趋于无穷大
适用条件
  • {rn}\{r^n\} 收敛的充要条件是 −1<r≤1-1<r\le1：左边是严格不等号（r=−1r=-1 时 11、−1-1 交替出现），右边带等号（r=1r=1 时恒为 11）
  • 首项为 aa 的 {arn−1}\{ar^{n-1}\} 收敛的条件是 a=0a=0 或 −1<r≤1-1<r\le1
  • r>1r>1 的证明：设 r=1+hr=1+h（h>0h>0），由二项定理 rn≥1+nh→∞r^n\ge1+nh\to\infty；∣r∣<1|r|<1 时对 1∣r∣>1\dfrac{1}{|r|}>1 用同样的办法

怎么用

先看形状再选变形：多项式提最高次；分式同除以分母的最高次（或最大的底）；根式之差乘共轭式有理化；分子分母是和，先用 Σ 公式化成 nn 的式子；有界量除以趋于无穷的量（如 cos⁡nθn\dfrac{\cos n\theta}{n}），用 ±1n\pm\dfrac1n 夹逼。递推式给出的数列，先求一般项再取极限；an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+q 且 ∣p∣<1|p|<1 时，极限就是方程 α=pα+q\alpha=p\alpha+q 的解。

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