数学归纳法

为什么是这样

设关于自然数 $n$ 的命题为 $P(n)$。数学归纳法证两件事：[1] $P(1)$ 成立；[2] 假设 $P(k)$ 成立，能推出 $P(k+1)$ 成立。由 [1]，$P(1)$ 真；把 [2] 用于 $k=1$，$P(2)$ 真；再用于 $k=2$，$P(3)$ 真……任何一个自然数都能在有限步之后被推到，所以 $P(n)$ 对所有自然数成立。

两件事缺一不可。[2] 证的是「若 $P(k)$ 则 $P(k+1)$」这个推出关系，并没有假定结论成立；只有 [2] 没有 [1]，就像骨牌排好了却没人推。错误的命题「$n+1<n$」也能通过 [2]：若 $k+1<k$，两边加 $1$ 得 $k+2<k+1$。它之所以是假的，是因为 [1] 的 $2<1$ 不成立。

起点和推法可以调整，只要链条连得上：命题从 $n=3$ 起成立，[1] 就证 $n=3$，[2] 里假设 $k\ge3$；[2] 要用 $n=k$、$k+1$ 两项推出 $n=k+2$ 时，[1] 必须证 $n=1$、$2$，否则第二块没人推；要用到前面所有项时，就假设 $n\le k$ 全部成立。图中三排依次是标准写法和前两种调整。

定量表达

写法是固定的：[1] $n=1$ 时，分别算出左边和右边，相等，所以成立。[2] 假设 $n=k$ 时成立，写出这时的式子①。考虑 $n=k+1$ 时，用①变形……所以 $n=k+1$ 时也成立。由 [1][2]，对所有自然数 $n$ 成立。动笔前先把命题里的每个 $n$ 换成 $k+1$，写出要证的目标式，变形就有了方向。

三类题的关键一步都是在 $n=k+1$ 的式子里找出 $n=k$ 的式子，再代入假设。等式（求和）：左边等于 $n=k$ 的左边加上新增的项（把通项的 $n$ 换成 $k+1$；求和到 $2n$ 时一次加两项）。整除：「是 $4$ 的倍数」写成「$=4m$（$m$ 是整数）」，把 $n=k+1$ 的式子拆成「$n=k$ 的式子的倍数」加「明显是 $4$ 的倍数的部分」。不等式：证 $A>B$ 改证 $A-B>0$，用假设把 $A$ 换小，再用 $k$ 的范围判断正负。