漸化式

为什么是这样

有了首项和递推式，就能依次算出 $a_2$、$a_3$……，数列被唯一确定，这叫数列的归纳定义（帰納的定義）。但题目要的是直接用 $n$ 表示的一般项，能直接写出的只有三种：每步加同一个数（等差），每步乘同一个数（等比），每步加的量随 $n$ 变化但已知（阶差，把各步的量累加起来）。

最常见的 $a_{n+1}=pa_n+q$ 不属于这三种，但它有平衡点 $\alpha$：若 $\alpha=p\alpha+q$，某一项等于 $\alpha$ 后数列就停住不动。两式相减得 $a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)$：偏差每步乘 $p$，偏差数列是等比数列。图中 $p=-\dfrac12$，各项绕着平衡点来回摆，偏差每步减半并变号。求 $\alpha$ 的方程叫特性方程（特性方程式），只是草稿，答卷里可以不写。

更复杂的递推式是同一个思路：找一个替换（减去一个式子、两边同除以一个式子、取倒数、取对数），让新数列落进三种基本型。选哪种替换，看式子里「多出来的部分」长什么样。

定量表达

三种基本型：$a_{n+1}=a_n+d$ 得 $a_n=a_1+(n-1)d$；$a_{n+1}=ra_n$ 得 $a_n=a_1r^{n-1}$；$a_{n+1}=a_n+f(n)$ 时 $\{f(n)\}$ 是阶差数列，$n\ge2$ 时 $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$。阶差这条只对 $n\ge2$ 成立（第 $n$ 项只累加了 $n-1$ 步），算完要代 $n=1$ 看是否等于 $a_1$，等于才能合写成一个式子。

$a_{n+1}=pa_n+q$（$p\ne1$）：$\{a_n-\alpha\}$ 是首项 $a_1-\alpha$、公比 $p$ 的等比数列，于是得到下面的公式。算完别忘了把 $\alpha$ 加回去。