圆与直线、切线

円と直線・接線

7 図形の性質／円の性質

一句话结论

切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引的两条切线长相等；弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。内切圆把三边分成 $s-a$ 、 $s-b$ 、 $s-c$ 。证明一条直线是切线，就证它垂直于半径，或用弦切角定理的逆。

车轮压在平直的路面上，只碰到一个点，车轴正好在这个点的正上方。切线最要紧的两条性质都在这里：和圆只有一个公共点，过切点的半径和它垂直。由此推出两件事：从圆外一点画的两条切线一样长；切线和弦的夹角等于另一侧的圆周角。三角形内切圆的长度计算，和许多角度证明，都靠这两件事。

为什么是这样

圆和直线的位置只看圆心到直线的距离 d 与半径 r： $d<r$ 时交于两点，这条直线叫割线； $d=r$ 时只有一个公共点，是切线； $d>r$ 时没有公共点。相切时，切点就是直线上离圆心最近的点，而最近的点是垂足，所以切线垂直于过切点的半径。反过来，过圆上一点、又垂直于这一点半径的直线，离圆心最近的距离恰好是 r，它就是切线。

从圆外一点 P 画两条切线，切点为 A、B。直角三角形 $OAP$ 与 $OBP$ 斜边 $OP$ 公用， $OA=OB$ ，所以全等： $PA=PB$ ，而且 $OP$ 平分 $\angle APB$ 。整张图关于直线 $OP$ 对称。三角形的内切圆就是把这件事在三个顶点各用一次。

弦切角可以看成圆周角 $\angle ACB$ 的极限：让 C 沿圆周滑向 A，割线 $CA$ 最后变成切线。严格的说法是作直径 $AD$ ： $\angle BAT=90^\circ-\angle BAD$ ，而直径所对的 $\angle ABD=90^\circ$ ，所以 $\angle ADB=90^\circ-\angle BAD$ ，两者相等，又 $\angle ADB=\angle ACB$ （同弧）。要对准的是夹在弦切角里面的那段弧，与之相等的是从另一侧看这段弧的圆周角。

定量表达

弦切角定理写成下面的公式块。它的逆定理用来证切线：射线 $AT$ 和弧 $AB$ 在直线 $AB$ 同侧， $\angle BAT$ 又等于弧 $AB$ 所对的圆周角， $AT$ 就和圆相切于 A。

内切圆与 $BC$ 、 $CA$ 、 $AB$ 切于 P、Q、R，设三边为 a、b、c， $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ 。各顶点的切线长记作 $AQ=AR=x$ 、 $BP=BR=y$ 、 $CP=CQ=z$ ，三条边给出 $y+z=a$ 、 $z+x=b$ 、 $x+y=c$ ，三式相加除以 2 得 $x+y+z=s$ ，于是 $x=s-a$ 、 $y=s-b$ 、 $z=s-c$ 。

半径 r 有两条求法：一般三角形用面积 $S=rs$ ；直角三角形里内心、两个切点和直角顶点围成正方形，直角顶点的切线长就是 r，所以 $r=\dfrac{a+b-c}{2}$ （c 为斜边）。旁切圆（与边 $BC$ 和另两边的延长线相切的圆）同理：从 A 到它的两条切线长都等于 s。

\angle BAT=\angle ACB

$A$: 切点
$T$: 切线上的一点，射线 $AT$ 是切线的一半
$B$: 圆上另一点， $AB$ 是过切点的弦
$C$: 圆上的点，落在 $\angle BAT$ 所夹的弧 $AB$ 以外
$\angle BAT$: 弦切角：切线与弦的夹角
$\angle ACB$: 看着弧 $AB$ （夹在弦切角里那段）的圆周角

适用条件

C 若落在 $\angle BAT$ 夹住的那段弧上， $\angle ACB=180^\circ-\angle BAT$
逆定理：射线 $AT$ 与弧 $AB$ 在直线 $AB$ 同侧，且 $\angle BAT$ 等于弧 $AB$ 所对的圆周角，则 $AT$ 是 A 处的切线

怎么用

先认图形：有切线、又有过切点的弦，就是弦切角，把切线和弦的夹角换成另一侧的圆周角，再和平行线的错角、同位角、三角形内角和接起来；有内切圆，或一个点引出两条切线，就把切线长设成未知数，用边长列方程。直角三角形的内切圆再加勾股定理，常给周长、面积反求边长。

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