三角形的边与角

为什么是这样

大边对大角：设 $AB>AC$，在边 $AB$ 上取 $D$ 使 $AD=AC$。$\triangle ADC$ 是等腰三角形，$\angle ADC=\angle ACD$。$\angle ACB$ 比它的一部分 $\angle ACD$ 大；$\angle ADC$ 是 $\triangle DBC$ 的外角，比 $\angle B$ 大，所以 $\angle C>\angle B$。反过来用反证法：若 $\angle C>\angle B$ 而 $AB\le AC$，相等时两角相等，小于时由刚证的结论 $\angle C<\angle B$，都矛盾。

三角形不等式：两点之间线段最短，从 $B$ 直接走到 $C$ 比绕道 $A$ 短，所以 $a<b+c$。三条都写出来再整理，就是 $|b-c|<a<b+c$。反过来，三个正数满足它就能围成三角形。比较两个三角形时要多一个条件：两边分别相等，夹角大的那个第三边也大，反之亦然，像圆规张得越开、两脚离得越远。

「两点之间线段最短」还能解最短路径。$P$、$Q$ 在直线 $\ell$ 同侧，要在 $\ell$ 上找点 $X$ 使 $PX+XQ$ 最小：作 $P$ 关于 $\ell$ 的对称点 $P'$，$PX=P'X$，于是 $PX+XQ=P'X+XQ\ge P'Q$，折线拉直时取等号，$X$ 就是 $P'Q$ 与 $\ell$ 的交点。

定量表达

约定 $a=BC$，$b=CA$，$c=AB$，$A$、$B$、$C$ 也表示三个角的大小。大边对大角写成 $a>b\iff A>B$，相等的情形就是等腰三角形。用余弦定理也能看出：$\cos B-\cos A$ 化简后与 $a-b$ 同号。所以最大角就是最大边所对的角，$c$ 最大时，$c^2<a^2+b^2$ 是锐角三角形，$c^2=a^2+b^2$ 是直角三角形，$c^2>a^2+b^2$ 是钝角三角形。

成立条件的省力用法：已知哪条边最长，只验「最长边小于另两边之和」一条，另两条自动成立；边长含参数、不知道谁最长时，三条都要写，再与「每条边都为正」取交集。注意这里只保持大小顺序，不保持比例：边与角成比例的是正弦定理 $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$，不是 $A:B:C$。