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教材 · 数学 Course 2 · 图形 · 图形的性质

方幂定理与两圆位置关系

方べきの定理と2つの円

7 図形の性質 ／ 円の性質
一句话结论

过一点 P 的任意直线与圆交于 A、B，PA⋅PBPA\cdot PB 都相等；切线时变成 PT2PT^2，它的值是 ∣OP2−r2∣|OP^2-r^2|。两圆的位置看圆心距 d 与 r+r′r+r'、r−r′r-r' 的大小，公切线依次有 4、3、2、1、0 条，公切线长从一个直角三角形里求。

过圆内一点 P 画一条弦，P 把它分成两段；换个方向再画一条，两段的长短都变了，乘积却一点不变。P 在圆外时，过 P 的割线和切线也有这样一个不变的乘积。这个乘积叫 P 对这个圆的方幂，它把圆的问题变成线段的乘法。本节后半比较两个圆：离开、相切、相交，全由圆心距和两条半径决定。

为什么是这样

两弦 ABAB、CDCD 在圆内交于 P。连 ACAC、BDBD：∠PAC=∠PDB\angle PAC=\angle PDB（都看弧 BCBC），∠APC=∠DPB\angle APC=\angle DPB（对顶角），所以 △PAC∼△PDB\triangle PAC\sim\triangle PDB，PA:PD=PC:PBPA:PD=PC:PB，交叉相乘就是 PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD。P 在圆外时，用内接四边形的外角等于内对角，得到同样的相似。

把一条割线转到与圆相切，两个交点合成切点 T，乘积就变成 PT2PT^2；用弦切角定理可以直接证 △PTA∼△PBT\triangle PTA\sim\triangle PBT。再看过圆心的那条直线：两段是 ∣OP−r∣|OP-r| 和 OP+rOP+r，乘积为 ∣OP2−r2∣|OP^2-r^2|。所以这个乘积只由 P 到圆心的距离决定。

两个圆的关系只看圆心距 d（设 r>r′r>r'）。两圆隔着空隙时 d>r+r′d>r+r'；空隙缩成零就外切，d=r+r′d=r+r'；再靠近就交于两点；小圆贴在大圆内侧时内切，d=r−r′d=r-r'；更近就完全落进大圆里。两圆在切点有同一条切线，两条半径都垂直于它，所以切点在连心线上。两圆相交时整张图关于连心线对称，连心线垂直平分公共弦。

方幂定理的三种图形：两弦相交、两条割线、切线与割线，都是从 P 到两个交点的距离之积相等① P 在圆内② P 在圆外，两条割线③ 切线与割线PABCDPA·PB = PC·PDPABCDPA·PB = PC·PDPABTPA·PB = PT²每个式子里的线段都从 P 量起：一条直线上取「P 到近交点」乘「P 到远交点」。③ 是 ② 的一条割线转到相切的样子：两个交点并成切点 T，乘积变成 PT²。

定量表达

方幂定理写成下面的公式块。三种图形（两弦相交、两条割线、切线与割线）的式子都是「从 P 到两个交点的两段相乘」。逆定理用来证四点共圆或证切线。

两圆位置（r>r′r>r'）：相离 d>r+r′d>r+r'，外切 d=r+r′d=r+r'，相交 r−r′<d<r+r′r-r'<d<r+r'，内切 d=r−r′d=r-r'，内含 d<r−r′d<r-r'。公切线依次 4、3、2、1、0 条。

公切线长：从小圆圆心作公切线的平行线，交大圆过切点的半径（或它的延长线）于 H，得到直角三角形，斜边是 d，一条直角边是两半径之差（外公切线，两圆在切线同侧）或之和（内公切线，两圆在两侧），另一条直角边就是公切线长，见第二个公式块。

两圆的五种位置关系由圆心距 d 与 r+r′、r−r′ 的大小决定；公切线长由一个直角三角形求出相离d > r + r′公切线 4 条外切d = r + r′公切线 3 条交于两点r − r′ < d < r + r′公切线 2 条内切d = r − r′公切线 1 条内含d < r − r′公切线 0 条外公切线：两圆在切线同侧d一条直角边 r − r′，长 √(d² − (r − r′)²)内公切线：两圆在切线两侧d一条直角边 r + r′，长 √(d² − (r + r′)²)
PA⋅PB=PC⋅PD=PT2=∣OP2−r2∣PA\cdot PB=PC\cdot PD=PT^2=\left|OP^2-r^2\right|
PP
定点（在圆内或圆外）
A, BA,\ B
过 P 的一条直线与圆的两个交点
C, DC,\ D
过 P 的另一条直线与圆的两个交点
TT
P 在圆外时，从 P 引的切线的切点
O, rO,\ r
圆心与半径
PA, PB, PC, PD, PT, OPPA,\ PB,\ PC,\ PD,\ PT,\ OP
都是从 P（或 O）量起的距离
适用条件
  • 每一段都从 P 量到交点；P 在圆外时 PB=PA+ABPB=PA+AB，不是弦长 ABAB
  • P 在圆内时没有切线，只有 PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD（两弦相交）
  • 逆定理：线段 ABAB、CDCD（或它们的延长线）交于 P，且 PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD，则 A、B、C、D 四点共圆；PA⋅PB=PT2PA\cdot PB=PT^2（T 不在直线 ABAB 上）则 PTPT 与过 A、B、T 的圆相切

怎么用

一个点引出两条与圆相交的直线，或一条割线加一条切线，就写方幂：先标出 P 到每个交点的距离，未知的那段设成 x，列 PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD。题目给的若是弦长，先换成从 P 量起的长度。已知半径和 OPOP 时，直接用 ∣OP2−r2∣|OP^2-r^2|。

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