圆周角与圆内接四边形

为什么是这样

设 P 在圆上，连 PO 并延长到 X。$OP=OA$，三角形 $OPA$ 是等腰三角形，两个底角相等，而它们的和等于外角 $\angle AOX$，所以 $\angle AOX=2\angle OPA$。B 那一侧同样如此。两部分相加（圆心在角外时相减），就得到圆周角是同弧所对中心角的一半。

推论跟着出来。同一段弧的中心角只有一个，所以同弧上的圆周角都相等。弧是半圆时中心角为 $180^\circ$，直径所对的圆周角是直角。中心角和弧长成正比，圆周角又是中心角的一半，所以圆周角也和弧长成正比。等弧对等中心角，弦和两条半径围成的等腰三角形两边及夹角都相等，于是全等，弦也相等。圆心到弦两端一样远，所以弦的垂直平分线过圆心。

一条弦把圆分成两段弧，两段的中心角合起来是 $360^\circ$。所以从这一侧看弦是 $\theta$，从另一侧看就是 $180^\circ-\theta$。圆内接四边形 $ABCD$ 的 $\angle A$ 和 $\angle C$ 正是从两侧看对角线 $BD$，于是对角之和为 $180^\circ$，外角等于内对角。

反过来想：P 在 AB 的同一侧移动，走进圆内角变大，走到圆外角变小，只有在圆上才恰好等于 $\theta$。所以同侧两点看 AB 的角相等，这两点和 A、B 就在同一个圆上。三角形一定有外接圆，四边形不一定有，这些逆定理就是判定的办法。

定量表达

圆周角定理与内接四边形写成下面的公式块。题目给弧长比 $m:n:\cdots$ 时，先按这个比例分 $360^\circ$ 得到各段弧的中心角，再折半得到圆周角。一个角看的是哪段弧，就看它的两边夹住了哪段弧；那段弧可以由几段小弧拼成。

两弦 $AC$、$BD$ 在圆内交于 E 时，$\angle AEB$ 是三角形 $AED$ 的外角，等于 $\angle CAD+\angle BDA$，也就是弧 $CD$ 与弧 $AB$ 所对圆周角之和。

判定 A、B、C、D 四点共圆有三条路：① C、D 在直线 AB 同侧，且 $\angle ACB=\angle ADB$；② 四边形 $ABCD$ 一组对角之和为 $180^\circ$，或一个外角等于它的内对角；③ 下一节的方幂定理的逆。① 最常见的特例是 $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$，这时 C、D 都在以 AB 为直径的圆上。